W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Renta wypłaca €3 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Stopa procentowa wynosi 10 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €3 000i = 10%n = 6
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €150 na koniec każdego miesiąca przez 23 lat. Konto daje 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €1505,4% / 12N = 276
FV = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 7 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €880, gdy rentowność do wykupu wynosi 4%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 7P = €880YTM = 4%
c = %
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €870. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 9P = €870
YTM = %
5.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej WACC wynosi 8,43%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 25,8%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Spółka ma 5 000 000 akcji po €36,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 6,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,8rf = 1%rm = 6,5%rd = 5%T = 21%
WACC = %
7.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €11 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Koszt kapitału wynosi 10 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €8 500, €11 500, €14 500, €13 000 na koniec lat od 1 do 4. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 6 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5645)/0,1 = 4,355
Wartość bieżąca
PV = 3 000·4,355 = €13 065,78
Odpowiedź
PV = €13 065,78
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 81763 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,04)−7 = €759,92
Kupon
C = (880 − 759,92)/6,002 = €20,01
Oprocentowanie kuponu
c = 20,01/1000 = 2,001%
Odpowiedź
c = 2,001%
4.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 6,995 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€870 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Rozwiąż numerycznie
P(6%) = €931,98, P(7%) = €869,70
YTM = 6,995%
Odpowiedź
YTM = 6,995%
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 10 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
Część dłużna WACC
0,25·5%·(1 − 0,258) = 0,9275%
Koszt kapitału własnego
re = (8,43% − 0,9275%)/0,75 = 10%
Odpowiedź
re = 10%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,72 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 11 000/1,1 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00
rok 2: 11 000/1,21 = 9 090,91 → Σ = 19 090,91
rok 3: 11 000/1,331 = 8 264,46 → Σ = 27 355,37
rok 4: 11 000/1,464 = 7 513,15 → Σ = 34 868,52
rok 5: 11 000/1,611 = 6 830,13 → Σ = 41 698,65
Ułamek ostatniego roku
DPB = 4 + 5 131,48/6 830,13 = 4,751
Odpowiedź
DPB = 4,751 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,636 lat).
8.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 19,75 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.