W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €6 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 4 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 10 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €6 000g = 4%r = 10%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €30 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 3 lat przy 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €30 0003,6% / 12N = 36
I = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 3%n = 6
P = €
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €995 przy rentowności do wykupu 6% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 6,8 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 100 punktów bazowych.
P0 = €995y = 6%D = 6,8Δy = +100 bp
P = €
5.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,25. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stawka podatku 20%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,25re = 8%rd = 7%T = 20%
WACC = %
6.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 2 000 000 akcji po €16,00 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 1,3, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 6%. Wyznacz WACC.
β = 1,3rf = 1,5%rm = 6%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
7.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €30 000 i przynosi €9 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 12 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt A kosztuje €40 000 i przynosi €23 000, €15 500, €9 000 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €42 000 i przynosi €10 500, €17 000, €23 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,003, N = 36
A = 30 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−36) = €880,39
Łączne odsetki
I = N·A − P = 36·880,4 − 30 000 = €1 694,09
Odpowiedź
I = €1 694,09
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1164 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, i = 0,015, N = 12
Wartość bieżąca kuponów
€30,00·(1 − 0,8364)/0,015 = €327,23
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,8364 = €836,39
Cena
P = €1 163,61
Odpowiedź
P = €1 163,61
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
4.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 931,2 €
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 6,8/1,06 = 6,415
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −6,415·(0,01) = −6,415%
P ≈ 995·(1 − 0,06415) = €931,17
Odpowiedź
P = €931,17
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,52 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·8% + 0,2·7%·(1 − 0,2) = 7,52%
Odpowiedź
WACC = 7,52%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,408 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 9 500/1,12 = 8 482,14 → Σ = 8 482,14
rok 2: 9 500/1,254 = 7 573,34 → Σ = 16 055,48
rok 3: 9 500/1,405 = 6 761,91 → Σ = 22 817,40
rok 4: 9 500/1,574 = 6 037,42 → Σ = 28 854,82
rok 5: 9 500/1,762 = 5 390,56 → Σ = 34 245,37
Ułamek ostatniego roku
DPB = 4 + 1 145,18/5 390,56 = 4,212
Odpowiedź
DPB = 4,212 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,158 lat).
8.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 3,32 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 10 500 − 23 000 = −12 500
ΔCF2 = 17 000 − 15 500 = 1 500
ΔCF3 = 23 000 − 9 000 = 14 000
IRR różnicy
NPVΔ(3%) = 89,95
NPVΔ(4%) = −186,45
r* = 3,32%
Odpowiedź
r* = 3,32%
Sprawdzenie: przy 3,32% oba NPV wynoszą €4 940,47.