Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €12 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 7 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €12 000g = 2%r = 7%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Na początku każdego roku przez 15 lat wpłacasz €3 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 8 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 15? Wyznacz FV.

A = €3 000i = 8%n = 15

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 7%YTM = 3%n = 7

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €1 010 przy rentowności do wykupu 7% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 11,3 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 150 punktów bazowych.

P₀ = €1 010y = 7%D = 11,3Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,6. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,6. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 4,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,6D/E = 0,6T = 28%r_f = 1,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €19 000, €19 000, €22 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 19 000CF₂ = 19 000CF₃ = 22 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €9 000, €13 500, €13 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 13 500CF₃ = 13 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 240000 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0,07 − 0,02) = 12 000/0,05 = €240 000,00

Odpowiedź

PV = €240 000,00

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 87973 €

Współczynnik renty zwykłej

((1 + 0,08)¹⁵ − 1)/0,08 = 27,15

Renta płatna z góry

Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.

FV = 3 000·27,15·1,08 = €87 972,85

Odpowiedź

FV = €87 972,85

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1251 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €35,00, i = 0,015, N = 14

Wartość bieżąca kuponów

€35,00·(1 − 0,8118)/0,015 = €439,02

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8118 = €811,85

Cena

P = €1 250,87

Odpowiedź

P = €1 250,87

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1170 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 11,3/1,07 = 10,56

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −10,56·(−0,015) = 15,84%

P ≈ 1010·(1 + 0,1584) = €1 170,00

Odpowiedź

P = €1 170,00

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,877 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·12% + 0,2308·3,5%·(1 − 0,2) = 9,877%

Odpowiedź

WACC = 9,877%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 5,366 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,6·(1 + 0,72·0,6) = 0,8592

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,8592·4,5% = 5,366%

Odpowiedź

r_e = 5,366%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −20667 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 19 000/1,05 = 18 095,24

CF₂/(1 + 0,05)² = 19 000/1,103 = 17 233,56

CF₃/(1 + 0,05)³ = 22 000/1,158 = 19 004,43

Zsumuj

NPV = €−20 666,77

Odpowiedź

NPV = €−20 666,77

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 33,47 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 1 055,99

NPV(35%) = −438,96

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·1 055,99/(1 055,99 − (−438,96)) = 33,53%

dokładnie: NPV(33,47%) = 0 → IRR = 33,47%

Odpowiedź

IRR = 33,47%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation