Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €1 000 na koniec każdego roku przez 11 lat. Stopa procentowa wynosi 10 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €1 000i = 10%n = 11

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €8 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 6 lat. Oprocentowanie wynosi 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €8 0007,2% / 12N = 72

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 15 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 4% na 3,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 3%n = 15y₁ = 4%y₂ = 3,5%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €1 085. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 7P = €1 085

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,5 ma wymaganą stopę zwrotu 11,75%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 3,5%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,5r_e = 11,75%r_f = 3,5%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €10 000 000 i koszcie 14%. Jej dług stanowi 8 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 11 lat do wykupu), notowanych po €1 045 za sztukę. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €10 000 000r_e = 14%obligacje: 8 000 × €1 045kupon = 4%n = 11T = 20%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €17 000, €29 000, €12 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 000CF₂ = 29 000CF₃ = 12 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €24 500, €29 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 24 500CF₂ = 29 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 6495 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3505)/0,1 = 6,495

Wartość bieżąca

PV = 1 000·6,495 = €6 495,06

Odpowiedź

PV = €6 495,06

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 137,2 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·6 = 72

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,65

A = 8 000·0,006/(1 − 0,65) = €137,16

Odpowiedź

A = €137,16

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 53,6 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €30,00, i = 0,04, N = 15

€30,00·(1 − 0,5553)/0,04 + €1 000·0,5553 = €333,55 + €555,26 = €888,82

Cena przy nowej rentowności

C = €30,00, i = 0,035, N = 15

€30,00·(1 − 0,5969)/0,035 + €1 000·0,5969 = €345,52 + €596,89 = €942,41

Zmiana

ΔP = 942,41 − 888,82 = €53,60

Odpowiedź

ΔP = €53,60

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,504 %

Równanie dla rentowności

€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82

YTM = 5,504%

Odpowiedź

YTM = 5,504%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 9 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (11,75% − 3,5%)/1,5 = 5,5%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 3,5% + 5,5% = 9%

Odpowiedź

r_m = 9%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,9 %

Koszt długu (YTM)

1045 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 3,5%

Wartości rynkowe

D = 8 000·€1 045 = €8 360 000

V = €18 360 000, E/V = 0,5447, D/V = 0,4553

WACC

WACC = 0,5447·14% + 0,4553·3,5%·(1 − 0,2) = 8,9%

Odpowiedź

WACC = 8,9%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −7140 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 17 000/1,05 = 16 190,48

CF₂/(1 + 0,05)² = 29 000/1,103 = 26 303,85

CF₃/(1 + 0,05)³ = 12 000/1,158 = 10 366,05

Zsumuj

NPV = €−7 139,62

Odpowiedź

NPV = €−7 139,62

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 5,124 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 90,70

NPV(10%) = −3 347,11

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·90,70/(90,70 − (−3 347,11)) = 5,132%

dokładnie: NPV(5,124%) = 0 → IRR = 5,124%

Odpowiedź

IRR = 5,124%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation