Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 18 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 18%m = 4

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €12 000 przy 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €550 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €12 000A = €5506% / 12

N = raty

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 6% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4%YTM = 6%n = 10

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €940. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 9P = €940

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €12 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €500 000 i długiem o wartości €2 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt akcji uprzywilejowanych 6,5%, a koszt długu przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000P_s = €500 000D = €2 000 000r_e = 11%r_p = 6,5%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,3 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,25. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,75. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 4,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,25D/E₂ = 0,75T = 28%r_f = 1,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €400 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €36 000, a potem przepływ rośnie o 1 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 11 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €36 000g = 1%r = 11%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt A kosztuje €20 000 i przynosi €11 500, €7 500, €4 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €25 000 i przynosi €6 500, €10 000, €14 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.

A: −20 000, 11 500, 7 500, 4 500B: −25 000, 6 500, 10 000, 14 000

r* = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 19,25 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,18/4 = 0,045

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,045)⁴ − 1 = 1,193 − 1 = 19,25%

Odpowiedź

EAR = 19,25%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 24 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,005/550 = 0,8909

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,8909)/ln(1,005) = 23,16

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

23 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 24

Odpowiedź

N = 24 raty

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 851,2 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €20,00, i = 0,03, N = 20

Wartość bieżąca kuponów

€20,00·(1 − 0,5537)/0,03 = €297,55

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,5537 = €553,68

Cena

P = €851,23

Odpowiedź

P = €851,23

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 7,959 %

Równanie dla rentowności

€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €937,53

YTM = 7,959%

Odpowiedź

YTM = 7,959%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,626 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 12 000 000 + 500 000 + 2 000 000 = €14 500 000

E/V = 0,8276, P_s/V = 0,03448, D/V = 0,1379

WACC

WACC = 0,8276·11% + 0,03448·6,5% + 0,1379·3%·(1 − 0,28) = 9,626%

Odpowiedź

WACC = 9,626%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 9,135 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,3/(1 + 0,72·0,25) = 1,102

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 1,102·(1 + 0,72·0,75) = 1,697

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,697·4,5% = 9,135%

Odpowiedź

r_e = 9,135%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −40000 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 36 000/(0,11 − 0,01) = 360 000,00

NPV

NPV = 360 000,00 − 400 000 = −€40 000,00

Odpowiedź

NPV = −€40 000,00

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: r* = 8,269 %

Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.

Różnica przepływów

ΔCF₀ = −25 000 − (−20 000) = −5 000

ΔCF₁ = 6 500 − 11 500 = −5 000

ΔCF₂ = 10 000 − 7 500 = 2 500

ΔCF₃ = 14 000 − 4 500 = 9 500

IRR różnicy

NPV_Δ(8%) = 55,12

NPV_Δ(9%) = −147,21

r* = 8,269%

Odpowiedź

r* = 8,269%

Sprawdzenie: przy 8,269% oba NPV wynoszą €565,63.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation