Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 25 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 25%m = 4

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €200 na koniec każdego miesiąca przez 23 lat. Konto daje 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €2004,8% / 12N = 276

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 3%n = 7

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 4 lat. Kosztuje €964. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 4% (2×)n = 4P = €964

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 0,9 ma wymaganą stopę zwrotu 6,05%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 0,9r_e = 6,05%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €48,50 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 6%. Wyznacz WACC.

β = 0,6r_f = 1,5%r_m = 6%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €500 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €32 000, a potem przepływ rośnie o 2 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €32 000g = 2%r = 10%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €25 000 przynosi €6 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €25 000CF = €6 000n = 6

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 27,44 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,25/4 = 0,0625

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0625)⁴ − 1 = 1,274 − 1 = 27,44%

Odpowiedź

EAR = 27,44%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 100479 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·23 = 276

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(3,01 − 1)/0,004 = €100 478,60

Odpowiedź

FV = €100 478,60

Sam wpłaciłeś €55 200; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 937,3 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,015, N = 14

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,8118)/0,015 = €125,43

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8118 = €811,85

Cena

P = €937,28

Odpowiedź

P = €937,28

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,004 %

Na okres

C = €20,00, N = 8

Rozwiąż numerycznie

i = 2,502% na półrocze

YTM

YTM = 2·2,502% = 5,004%

Odpowiedź

YTM = 5,004%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 6,5 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (6,05% − 2%)/0,9 = 4,5%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 2% + 4,5% = 6,5%

Odpowiedź

r_m = 6,5%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 4,069 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€48,50 = €48 500 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,6·4,5% = 4,2%

Wagi

V = €68 500 000, E/V = 0,708, D/V = 0,292

WACC

WACC = 0,708·4,2% + 0,292·5%·(1 − 0,25) = 4,069%

Odpowiedź

WACC = 4,069%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −100000 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 32 000/(0,1 − 0,02) = 400 000,00

NPV

NPV = 400 000,00 − 500 000 = −€100 000,00

Odpowiedź

NPV = −€100 000,00

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 11,53 %

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 25 000/6 000 = 4,167

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 11%: 4,231

i = 12%: 4,111

IRR = 11,53%

Odpowiedź

IRR = 11,53%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation