Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €2 000 przy nominalnej stopie 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 3 latach.

PV = €2 0003% / 12n = 3

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 18 lat chcesz mieć €50 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €50 0006% / 12N = 216

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 6%YTM = 5%n = 9

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €910 przy rentowności do wykupu 4% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 4,3 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 100 punktów bazowych.

P₀ = €910y = 4%D = 4,3Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,6 ma wymaganą stopę zwrotu 10,2%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 3%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,6r_e = 10,2%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €5 000 000 i koszcie 13%. Jej dług stanowi 5 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%, 5 lat do wykupu), notowanych po €979 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €5 000 000r_e = 13%obligacje: 5 000 × €979kupon = 5%n = 5T = 25,8%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €10 000, €21 000, €14 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 10 000CF₂ = 21 000CF₃ = 14 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €12 500, €9 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 500CF₂ = 9 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 2188 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·3 = 36

Wartość przyszła

FV = 2 000·(1 + 0,0025)³⁶ = 2 000·1,094 = €2 188,10

Odpowiedź

FV = €2 188,10

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 129,1 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·18 = 216

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0,005/(2,937 − 1) = €129,08

Odpowiedź

A = €129,08

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1072 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €30,00, i = 0,025, N = 18

Wartość bieżąca kuponów

€30,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €430,60

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6412 = €641,17

Cena

P = €1 071,77

Odpowiedź

P = €1 071,77

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 947,6 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 4,3/1,04 = 4,135

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −4,135·(−0,01) = 4,135%

P ≈ 910·(1 + 0,04135) = €947,63

Odpowiedź

P = €947,63

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 7,5 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (10,2% − 3%)/1,6 = 4,5%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 3% + 4,5% = 7,5%

Odpowiedź

r_m = 7,5%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,585 %

Koszt długu (YTM)

979 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 5,492%

Wartości rynkowe

D = 5 000·€979 = €4 895 000

V = €9 895 000, E/V = 0,5053, D/V = 0,4947

WACC

WACC = 0,5053·13% + 0,4947·5,492%·(1 − 0,258) = 8,585%

Odpowiedź

WACC = 8,585%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −6623 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 10 000/1,08 = 9 259,26

CF₂/(1 + 0,08)² = 21 000/1,166 = 18 004,12

CF₃/(1 + 0,08)³ = 14 000/1,26 = 11 113,65

Zsumuj

NPV = €−6 622,97

Odpowiedź

NPV = €−6 622,97

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 5,254 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 68,03

NPV(10%) = −1 198,35

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·68,03/(68,03 − (−1 198,35)) = 5,269%

dokładnie: NPV(5,254%) = 0 → IRR = 5,254%

Odpowiedź

IRR = 5,254%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation