Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €5 000 przy stopie 8 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 10 latach.

PV = €5 000r = 8%t = 10

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €150 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 25 lat. Oprocentowanie wynosi 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €150 0005,4% / 12N = 300

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 10 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 2,5% na 4,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 5%n = 10y₁ = 2,5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €995 przy rentowności do wykupu 7% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 11,1 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 25 punktów bazowych.

P₀ = €995y = 7%D = 11,1Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 2 ma wymaganą stopę zwrotu 12%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 1%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 2r_e = 12%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 5 000 000 akcji notowanych po €37,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €55 500 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,60 na akcję, a dywidendy rosną o 4% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €185 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 4%. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 5 000 000P₀ = €37,00księgowy kapitał własny = €55 500 000D₀ = €1,60g = 4%D = €185 000 000r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €50 000. Przynosi €9 000 na koniec każdego roku przez 7 lat, a potem można ją sprzedać za €10 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €50 000CF = €9 000S = €10 000n = 7r = 6%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €5 500, €5 000, €5 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 000CF₃ = 5 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 11128 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,08·10 = 0,8

e^0,8 = 2,226

Wartość przyszła

FV = 5 000·2,226 = €11 127,70

Odpowiedź

FV = €11 127,70

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 912,2 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·25 = 300

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,26

A = 150 000·0,0045/(1 − 0,26) = €912,19

Odpowiedź

A = €912,19

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = −179,2 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €50,00, i = 0,025, N = 10

€50,00·(1 − 0,7812)/0,025 + €1 000·0,7812 = €437,60 + €781,20 = €1 218,80

Cena przy nowej rentowności

C = €50,00, i = 0,045, N = 10

€50,00·(1 − 0,6439)/0,045 + €1 000·0,6439 = €395,64 + €643,93 = €1 039,56

Zmiana

ΔP = 1 039,56 − 1 218,80 = −€179,24

Odpowiedź

ΔP = −€179,24

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 969,2 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 11,1/1,07 = 10,37

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −10,37·(0,0025) = −2,593%

P ≈ 995·(1 − 0,02593) = €969,20

Odpowiedź

P = €969,20

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 6,5 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (12% − 1%)/2 = 5,5%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 1% + 5,5% = 6,5%

Odpowiedź

r_m = 6,5%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,849 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 1,6·1,04 = €1,66

r_e = 1,664/37 + 0,04 = 8,497%

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€37,00 = €185 000 000

V = €370 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8,497% + 0,5·4%·(1 − 0,2) = 5,849%

Odpowiedź

WACC = 5,849%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 6892 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

9 000·5,582 = 50 241,43

Wartość bieżąca wartości końcowej

10 000/1,504 = 6 650,57

NPV

NPV = −50 000 + 50 241,43 + 6 650,57 = €6 892,00

Odpowiedź

NPV = €6 892,00

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 27,8 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 416,00

NPV(30%) = −307,24

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·416,00/(416,00 − (−307,24)) = 27,88%

dokładnie: NPV(27,8%) = 0 → IRR = 27,8%

Odpowiedź

IRR = 27,8%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation