Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €2 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 6 latach.

PV = €2 0002% / 4n = 6

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €150 na koniec każdego miesiąca przez 6 lat. Konto daje 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €1504,8% / 12N = 72

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 12 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €774, gdy rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 12P = €774YTM = 8%

c = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 11 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%) kosztuje €1 121. Emitent może ją wykupić przed terminem za 4 lat po cenie wykupu €1 070. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 7%P = €1 121cena wcześniejszego wykupu = €1 070wcześniejszy wykup za 4 lata

YTC = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €4 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €2 000 000 i długiem o wartości €2 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt akcji uprzywilejowanych 7%, a koszt długu przed opodatkowaniem 4%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000P_s = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_p = 7%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 000 000 akcji po €14,50 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 1,1, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 9%. Wyznacz WACC.

β = 1,1r_f = 3,5%r_m = 9%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €100 000. Przynosi €14 500 na koniec każdego roku przez 7 lat, a potem można ją sprzedać za €20 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €100 000CF = €14 500S = €20 000n = 7r = 10%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €20 000 przynosi €5 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €20 000CF = €5 000n = 6

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 2254 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·6 = 24

Wartość przyszła

FV = 2 000·(1 + 0,005)²⁴ = 2 000·1,127 = €2 254,32

Odpowiedź

FV = €2 254,32

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 12487 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·6 = 72

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,333 − 1)/0,004 = €12 487,17

Odpowiedź

FV = €12 487,17

Sam wpłaciłeś €10 800; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 5,001 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,08)⁻¹² = €397,11

Kupon

C = (774 − 397,11)/7,536 = €50,01

Oprocentowanie kuponu

c = 50,01/1000 = 5,001%

Odpowiedź

c = 5,001%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 5,192 %

Równanie dla rentowności

1121 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1070/(1 + y)⁴

Rozwiąż numerycznie

y = 5%: €1 128,51

y = 6%: €1 090,10

YTC = 5,192%

Odpowiedź

YTC = 5,192%

Rentowność do wykupu wynosi 5,504%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,54 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 4 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €8 000 000

E/V = 0,5, P_s/V = 0,25, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,5·12% + 0,25·7% + 0,25·4%·(1 − 0,21) = 8,54%

Odpowiedź

WACC = 8,54%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,715 %

Wartości rynkowe

E = 2 000 000·€14,50 = €29 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,1·5,5% = 9,55%

Wagi

V = €48 600 000, E/V = 0,5967, D/V = 0,4033

WACC

WACC = 0,5967·9,55% + 0,4033·3,5%·(1 − 0,28) = 6,715%

Odpowiedź

WACC = 6,715%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −19145 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

14 500·4,868 = 70 592,07

Wartość bieżąca wartości końcowej

20 000/1,949 = 10 263,16

NPV

NPV = −100 000 + 70 592,07 + 10 263,16 = −€19 144,76

Odpowiedź

NPV = −€19 144,76

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 12,98 %

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 20 000/5 000 = 4

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 12%: 4,111

i = 13%: 3,998

IRR = 12,98%

Odpowiedź

IRR = 12,98%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation