Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 2 lat potrzebujesz €5 000. Konto daje 2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €5 0002% / 12n = 2

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Na początku każdego roku przez 23 lat wpłacasz €1 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 8 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 23? Wyznacz FV.

A = €1 000i = 8%n = 23

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% i zapada za 6 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 5% na 4,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 2%n = 6y₁ = 5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €1 050 przy rentowności do wykupu 3% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 8,5 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 100 punktów bazowych.

P₀ = €1 050y = 3%D = 8,5Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €15 000 000 i koszcie 13%. Jej dług stanowi 8 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%, 11 lat do wykupu), notowanych po €963 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €15 000 000r_e = 13%obligacje: 8 000 × €963kupon = 7%n = 11T = 25,8%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €500 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €50 000, a potem przepływ rośnie o 1 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €50 000g = 1%r = 10%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt A kosztuje €20 000 i przynosi €11 500, €7 500, €4 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €25 000 i przynosi €6 500, €10 000, €14 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.

A: −20 000, 11 500, 7 500, 4 500B: −25 000, 6 500, 10 000, 14 000

r* = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 4804 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,02/12 = 0,001667

N = 12·2 = 24

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,041 = €4 804,11

Odpowiedź

PV = €4 804,11

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 65765 €

Współczynnik renty zwykłej

((1 + 0,08)²³ − 1)/0,08 = 60,89

Renta płatna z góry

Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.

FV = 1 000·60,89·1,08 = €65 764,76

Odpowiedź

FV = €65 764,76

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 23,32 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €20,00, i = 0,05, N = 6

€20,00·(1 − 0,7462)/0,05 + €1 000·0,7462 = €101,51 + €746,22 = €847,73

Cena przy nowej rentowności

C = €20,00, i = 0,045, N = 6

€20,00·(1 − 0,7679)/0,045 + €1 000·0,7679 = €103,16 + €767,90 = €871,05

Zmiana

ΔP = 871,05 − 847,73 = €23,32

Odpowiedź

ΔP = €23,32

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 963,3 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 8,5/1,03 = 8,252

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −8,252·(0,01) = −8,252%

P ≈ 1050·(1 − 0,08252) = €963,35

Odpowiedź

P = €963,35

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,29 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·11% + 0,09091·4%·(1 − 0,2) = 10,29%

Odpowiedź

WACC = 10,29%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,48 %

Koszt długu (YTM)

963 = 70·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 7,506%

Wartości rynkowe

D = 8 000·€963 = €7 704 000

V = €22 704 000, E/V = 0,6607, D/V = 0,3393

WACC

WACC = 0,6607·13% + 0,3393·7,506%·(1 − 0,258) = 10,48%

Odpowiedź

WACC = 10,48%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 55556 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 50 000/(0,1 − 0,01) = 555 555,56

NPV

NPV = 555 555,56 − 500 000 = €55 555,56

Odpowiedź

NPV = €55 555,56

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: r* = 8,269 %

Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.

Różnica przepływów

ΔCF₀ = −25 000 − (−20 000) = −5 000

ΔCF₁ = 6 500 − 11 500 = −5 000

ΔCF₂ = 10 000 − 7 500 = 2 500

ΔCF₃ = 14 000 − 4 500 = 9 500

IRR różnicy

NPV_Δ(8%) = 55,12

NPV_Δ(9%) = −147,21

r* = 8,269%

Odpowiedź

r* = 8,269%

Sprawdzenie: przy 8,269% oba NPV wynoszą €565,63.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation