Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €8 000 na koniec każdego roku przez 7 lat. Stopa procentowa wynosi 3 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €8 000i = 3%n = 7

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €250 na koniec każdego miesiąca przez 30 lat. Konto daje 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €2506% / 12N = 360

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% i zapada za 15 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 9% na 7,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 4%n = 15y₁ = 9%y₂ = 7,5%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 4 lat. Kosztuje €1 072. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 7% (2×)n = 4P = €1 072

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,25. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 20%. Wyznacz WACC.

D/E = 0,25r_e = 12%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 500 000 akcji po €30,00 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 8%. Wyznacz WACC.

β = 0,6r_f = 2,5%r_m = 8%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €10 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 5 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 10 500CF₂ = 10 500CF₃ = 10 500CF₄ = 10 500CF₅ = 10 500

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €13 000, €12 000, €10 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 12 000CF₃ = 10 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 49842 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8131)/0,03 = 6,23

Wartość bieżąca

PV = 8 000·6,23 = €49 842,26

Odpowiedź

PV = €49 842,26

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 251129 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·30 = 360

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(6,023 − 1)/0,005 = €251 128,76

Odpowiedź

FV = €251 128,76

Sam wpłaciłeś €90 000; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 94,09 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €40,00, i = 0,09, N = 15

€40,00·(1 − 0,2745)/0,09 + €1 000·0,2745 = €322,43 + €274,54 = €596,97

Cena przy nowej rentowności

C = €40,00, i = 0,075, N = 15

€40,00·(1 − 0,338)/0,075 + €1 000·0,338 = €353,08 + €337,97 = €691,05

Zmiana

ΔP = 691,05 − 596,97 = €94,09

Odpowiedź

ΔP = €94,09

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,992 %

Na okres

C = €35,00, N = 8

Rozwiąż numerycznie

i = 2,496% na półrocze

YTM

YTM = 2·2,496% = 4,992%

Odpowiedź

YTM = 4,992%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,56 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8

D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2

WACC

WACC = 0,8·12% + 0,2·6%·(1 − 0,2) = 10,56%

Odpowiedź

WACC = 10,56%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,568 %

Wartości rynkowe

E = 2 500 000·€30,00 = €75 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,6·5,5% = 5,8%

Wagi

V = €80 100 000, E/V = 0,9363, D/V = 0,06367

WACC

WACC = 0,9363·5,8% + 0,06367·3%·(1 − 0,28) = 5,568%

Odpowiedź

WACC = 5,568%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,336 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 10 500/1,05 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00

rok 2: 10 500/1,103 = 9 523,81 → Σ = 19 523,81

rok 3: 10 500/1,158 = 9 070,29 → Σ = 28 594,10

rok 4: 10 500/1,216 = 8 638,38 → Σ = 37 232,48

rok 5: 10 500/1,276 = 8 227,02 → Σ = 45 459,51

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 2 767,52/8 227,02 = 4,336

Odpowiedź

DPB = 4,336 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,81 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 36,09 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(35%) = 278,41

NPV(40%) = −947,52

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 35 + 5·278,41/(278,41 − (−947,52)) = 36,14%

dokładnie: NPV(36,09%) = 0 → IRR = 36,09%

Odpowiedź

IRR = 36,09%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation