Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €8 000 przy nominalnej stopie 6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 6 latach.

PV = €8 0006% / 4n = 6

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 15 lat chcesz mieć €50 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €50 0005,4% / 12N = 180

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% i zapada za 10 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 9% na 8%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 6%n = 10y₁ = 9%y₂ = 8%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €930. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 4%n = 9P = €930

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €12 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €1 000 000 i długiem o wartości €4 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt akcji uprzywilejowanych 7,5%, a koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%. Stawka podatku wynosi 30%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000P_s = €1 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_p = 7,5%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €35,00 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,5, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 7%. Wyznacz WACC.

β = 1,5r_f = 3%r_m = 7%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €50 000, działa przez 6 lat, a jej eksploatacja kosztuje €4 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €50 000M = €4 000n = 6r = 5%

EAC = €

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €10 000 przynosi €2 500 na koniec każdego roku przez 10 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 10

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 11436 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·6 = 24

Wartość przyszła

FV = 8 000·(1 + 0,015)²⁴ = 8 000·1,43 = €11 436,02

Odpowiedź

FV = €11 436,02

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 180,9 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·15 = 180

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0,0045/(2,244 − 1) = €180,89

Odpowiedź

A = €180,89

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 58,33 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €60,00, i = 0,09, N = 10

€60,00·(1 − 0,4224)/0,09 + €1 000·0,4224 = €385,06 + €422,41 = €807,47

Cena przy nowej rentowności

C = €60,00, i = 0,08, N = 10

€60,00·(1 − 0,4632)/0,08 + €1 000·0,4632 = €402,60 + €463,19 = €865,80

Zmiana

ΔP = 865,80 − 807,47 = €58,33

Odpowiedź

ΔP = €58,33

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,984 %

Równanie dla rentowności

€930 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €928,92

YTM = 4,984%

Odpowiedź

YTM = 4,984%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,241 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 12 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €17 000 000

E/V = 0,7059, P_s/V = 0,05882, D/V = 0,2353

WACC

WACC = 0,7059·10% + 0,05882·7,5% + 0,2353·4,5%·(1 − 0,3) = 8,241%

Odpowiedź

WACC = 8,241%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,614 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€35,00 = €35 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3% + 1,5·4% = 9%

Wagi

V = €45 000 000, E/V = 0,7778, D/V = 0,2222

WACC

WACC = 0,7778·9% + 0,2222·3,5%·(1 − 0,21) = 7,614%

Odpowiedź

WACC = 7,614%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 13851 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,05⁻⁶)/0,05 = 5,076

Zannualizowana cena zakupu

50 000/5,076 = 9 850,87

EAC

EAC = 9 850,87 + 4 000 = €13 850,87

Odpowiedź

EAC = €13 850,87

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 21,41 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 10 000/2 500 = 4

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 21%: 4,054

i = 22%: 3,923

IRR = 21,41%

Odpowiedź

IRR = 21,41%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation