W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 18 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 18%m = 365
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 22 lat wpłacasz €5 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 5 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 22? Wyznacz FV.
A = €5 000i = 5%n = 22
FV = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 9% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 8%YTM = 9%n = 10
P = €
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja z 10 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 9%) kosztuje €1 103. Emitent może ją wykupić przed terminem za 5 lat po cenie wykupu €1 090. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.
F = €1 000kupon = 9%P = €1 103cena wcześniejszego wykupu = €1 090wcześniejszy wykup za 5 lata
YTC = %
5.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,4. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 1%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 1D/E = 0,4T = 25%rf = 1%rm − rf = 6%
re = %
7.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €24 000, €25 000, €16 000, €26 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €8 500, €12 000, €12 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 8 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,18/365 = 0,0004932
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,0004932)365 − 1 = 1,197 − 1 = 19,72%
Odpowiedź
EAR = 19,72%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 202152 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,05)22 − 1)/0,05 = 38,51
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 5 000·38,51·1,05 = €202 152,38
Odpowiedź
FV = €202 152,38
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 935 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €40,00, i = 0,045, N = 20
Wartość bieżąca kuponów
€40,00·(1 − 0,4146)/0,045 = €520,32
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,4146 = €414,64
Cena
P = €934,96
Odpowiedź
P = €934,96
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
4.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTC = 7,958 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
1103 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Rozwiąż numerycznie
y = 7%: €1 146,17
y = 8%: €1 101,18
YTC = 7,958%
Odpowiedź
YTC = 7,958%
Rentowność do wykupu wynosi 7,499%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 4,929 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143
WACC
WACC = 0,2857·12% + 0,7143·3%·(1 − 0,3) = 4,929%
Odpowiedź
WACC = 4,929%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 8,8 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 1·(1 + 0,75·0,4) = 1,3
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1% + 1,3·6% = 8,8%
Odpowiedź
re = 8,8%
7.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 9270 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 24 000/1,12 = 21 428,57
CF2/(1 + 0,12)2 = 25 000/1,254 = 19 929,85
CF3/(1 + 0,12)3 = 16 000/1,405 = 11 388,48
CF4/(1 + 0,12)4 = 26 000/1,574 = 16 523,47
Zsumuj
NPV = €9 270,37
Odpowiedź
NPV = €9 270,37
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
8.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 11,73 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.