Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €10 000 przy stopie 4 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 14 latach.

PV = €10 000r = 4%t = 14

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €50 na koniec każdego miesiąca przez 21 lat. Konto daje 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €503,6% / 12N = 252

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 15 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 111, gdy rentowność do wykupu wynosi 4%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 15P = €1 111YTM = 4%

c = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% i zapada za 4 lat. Rentowność do wykupu wynosi 9%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 6%n = 4YTM = 9%

D = lata

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,5 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,5. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1,25. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,25T = 25%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €20 000 i przynosi €5 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Koszt kapitału wynosi 10 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 5 000CF₃ = 5 000CF₄ = 5 000CF₅ = 5 000CF₆ = 5 000

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €24 000, €33 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 24 000CF₂ = 33 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 17507 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,04·14 = 0,56

e^0,56 = 1,751

Wartość przyszła

FV = 10 000·1,751 = €17 506,73

Odpowiedź

FV = €17 506,73

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 18789 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·21 = 252

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2,127 − 1)/0,003 = €18 788,85

Odpowiedź

FV = €18 788,85

Sam wpłaciłeś €12 600; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 4,998 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,04)⁻¹⁵ = €555,26

Kupon

C = (1111 − 555,26)/11,12 = €49,98

Oprocentowanie kuponu

c = 49,98/1000 = 4,998%

Odpowiedź

c = 4,998%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 3,654 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 60/1,09 = 55,05, t·PV = 55,05

t = 2: 60/1,188 = 50,50, t·PV = 101,00

t = 3: 60/1,295 = 46,33, t·PV = 138,99

t = 4: 1060/1,412 = 750,93, t·PV = 3 003,72

Duration

P = 902,81

D = 3 298,76/902,81 = 3,654

Odpowiedź

D = 3,654 lata

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 13,14 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·14% + 0,09091·6%·(1 − 0,25) = 13,14%

Odpowiedź

WACC = 13,14%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 14,07 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,5/(1 + 0,75·0,5) = 1,091

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 1,091·(1 + 0,75·1,25) = 2,114

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 2,114·5% = 14,07%

Odpowiedź

r_e = 14,07%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 5,371 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 5 000/1,1 = 4 545,45 → Σ = 4 545,45

rok 2: 5 000/1,21 = 4 132,23 → Σ = 8 677,69

rok 3: 5 000/1,331 = 3 756,57 → Σ = 12 434,26

rok 4: 5 000/1,464 = 3 415,07 → Σ = 15 849,33

rok 5: 5 000/1,611 = 3 104,61 → Σ = 18 953,93

rok 6: 5 000/1,772 = 2 822,37 → Σ = 21 776,30

Ułamek ostatniego roku

DPB = 5 + 1 046,07/2 822,37 = 5,371

Odpowiedź

DPB = 5,371 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (4 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 9,299 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 3 242,63

NPV(10%) = −495,87

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·3 242,63/(3 242,63 − (−495,87)) = 9,337%

dokładnie: NPV(9,299%) = 0 → IRR = 9,299%

Odpowiedź

IRR = 9,299%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation