Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €20 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 8,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €20 000g = 2,5%r = 8,5%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €500 na koniec każdego miesiąca przez 12 lat. Konto daje 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €5006% / 12N = 144

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 4% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 4%n = 6

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 4 lat. Rentowność do wykupu wynosi 6%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 7%n = 4YTM = 6%

D = lata

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €52,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €83 200 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €0,80 na akcję, a dywidendy rosną o 5% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €208 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 4 000 000P₀ = €52,00księgowy kapitał własny = €83 200 000D₀ = €0,80g = 5%D = €208 000 000r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €250 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €14 000, a potem przepływ rośnie o 2 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €14 000g = 2%r = 8%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt A kosztuje €20 000 i przynosi €11 500, €7 500, €4 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €25 000 i przynosi €6 500, €10 000, €14 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.

A: −20 000, 11 500, 7 500, 4 500B: −25 000, 6 500, 10 000, 14 000

r* = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 333333 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,085 − 0,025) = 20 000/0,06 = €333 333,33

Odpowiedź

PV = €333 333,33

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 105075 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·12 = 144

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2,051 − 1)/0,005 = €105 075,08

Odpowiedź

FV = €105 075,08

Sam wpłaciłeś €72 000; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 894,2 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,02, N = 12

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,7885)/0,02 = €105,75

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7885 = €788,49

Cena

P = €894,25

Odpowiedź

P = €894,25

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 3,631 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 70/1,06 = 66,04, t·PV = 66,04

t = 2: 70/1,124 = 62,30, t·PV = 124,60

t = 3: 70/1,191 = 58,77, t·PV = 176,32

t = 4: 1070/1,262 = 847,54, t·PV = 3 390,16

Duration

P = 1 034,65

D = 3 757,12/1 034,65 = 3,631

Odpowiedź

D = 3,631 lata

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,313 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·3,5%·(1 − 0,25) = 6,313%

Odpowiedź

WACC = 6,313%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,283 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 0,8·1,05 = €0,84

r_e = 0,84/52 + 0,05 = 6,615%

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€52,00 = €208 000 000

V = €416 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·6,615% + 0,5·5%·(1 − 0,21) = 5,283%

Odpowiedź

WACC = 5,283%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −16667 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 14 000/(0,08 − 0,02) = 233 333,33

NPV

NPV = 233 333,33 − 250 000 = −€16 666,67

Odpowiedź

NPV = −€16 666,67

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: r* = 8,269 %

Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.

Różnica przepływów

ΔCF₀ = −25 000 − (−20 000) = −5 000

ΔCF₁ = 6 500 − 11 500 = −5 000

ΔCF₂ = 10 000 − 7 500 = 2 500

ΔCF₃ = 14 000 − 4 500 = 9 500

IRR różnicy

NPV_Δ(8%) = 55,12

NPV_Δ(9%) = −147,21

r* = 8,269%

Odpowiedź

r* = 8,269%

Sprawdzenie: przy 8,269% oba NPV wynoszą €565,63.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation