Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 24 % rocznie z kapitalizacją półroczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 24%m = 2

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €15 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €15 0004,8% / 12N = 48

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 5 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 3%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 3%n = 5y₀ = 3,5%y₁ = 2,5%

HPR = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 18 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 9%) kosztuje €1 146. Emitent może ją wykupić przed terminem za 4 lat po cenie wykupu €1 090. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 9%P = €1 146cena wcześniejszego wykupu = €1 090wcześniejszy wykup za 4 lata

YTC = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 1. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stawka podatku 30%. Wyznacz WACC.

D/E = 1r_e = 10%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 000 000 akcji po €59,00 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,5, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 5,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,5r_f = 1,5%r_m = 5,5%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €8 500, €8 500, €17 500, €9 500, €11 500 na koniec lat od 1 do 5. Koszt kapitału wynosi 8 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 8 500CF₂ = 8 500CF₃ = 17 500CF₄ = 9 500CF₅ = 11 500

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €25 000 przynosi €6 500 na koniec każdego roku przez 6 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €25 000CF = €6 500n = 6

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 25,44 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,24/2 = 0,12

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,12)² − 1 = 1,254 − 1 = 25,44%

Odpowiedź

EAR = 25,44%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 344,1 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,8256

A = 15 000·0,004/(1 − 0,8256) = €344,08

Odpowiedź

A = €344,08

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 7,303 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €30,00, i = 0,035, N = 5

€30,00·(1 − 0,842)/0,035 + €1 000·0,842 = €135,45 + €841,97 = €977,42

Cena sprzedaży

C = €30,00, i = 0,025, N = 4

€30,00·(1 − 0,906)/0,025 + €1 000·0,906 = €112,86 + €905,95 = €1 018,81

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (30 + 1 018,81 − 977,42)/977,42 = 7,303%

Odpowiedź

HPR = 7,303%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 6,749 %

Równanie dla rentowności

1146 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1090/(1 + y)⁴

Rozwiąż numerycznie

y = 6%: €1 175,24

y = 7%: €1 136,40

YTC = 6,749%

Odpowiedź

YTC = 6,749%

Rentowność do wykupu wynosi 7,496%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,225 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·3,5%·(1 − 0,3) = 6,225%

Odpowiedź

WACC = 6,225%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,791 %

Wartości rynkowe

E = 2 000 000·€59,00 = €118 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,5·4% = 7,5%

Wagi

V = €158 800 000, E/V = 0,7431, D/V = 0,2569

WACC

WACC = 0,7431·7,5% + 0,2569·6%·(1 − 0,21) = 6,791%

Odpowiedź

WACC = 6,791%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,507 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 8 500/1,08 = 7 870,37 → Σ = 7 870,37

rok 2: 8 500/1,166 = 7 287,38 → Σ = 15 157,75

rok 3: 17 500/1,26 = 13 892,06 → Σ = 29 049,81

rok 4: 9 500/1,36 = 6 982,78 → Σ = 36 032,60

rok 5: 11 500/1,469 = 7 826,71 → Σ = 43 859,30

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 3 967,40/7 826,71 = 4,507

Odpowiedź

DPB = 4,507 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,579 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 14,4 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 25 000/6 500 = 3,846

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 14%: 3,889

i = 15%: 3,784

IRR = 14,4%

Odpowiedź

IRR = 14,4%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation