Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €2 000 przy nominalnej stopie 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 5 latach.

PV = €2 0006% / 12n = 5

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €10 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 6 lat przy 7,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €10 0007,2% / 12N = 72

I = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 5 latach. Rentowność do wykupu wynosi 7% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4,5%YTM = 7%n = 5

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €1 060 przy rentowności do wykupu 7% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 6,4 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 150 punktów bazowych.

P₀ = €1 060y = 7%D = 6,4Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.

E = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €10 000 000 i koszcie 13%. Jej dług stanowi 2 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 8 lat do wykupu), notowanych po €1 108 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €10 000 000r_e = 13%obligacje: 2 000 × €1 108kupon = 4%n = 8T = 25%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €30 000 i przynosi €9 000 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 12 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000CF₄ = 9 000CF₅ = 9 000

DPB = lata

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €12 000, €7 500, €8 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 7 500CF₃ = 8 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 2698 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·5 = 60

Wartość przyszła

FV = 2 000·(1 + 0,005)⁶⁰ = 2 000·1,349 = €2 697,70

Odpowiedź

FV = €2 697,70

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 2345 €

Rata miesięczna

i = 0,006, N = 72

A = 10 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻⁷²) = €171,45

Łączne odsetki

I = N·A − P = 72·171,5 − 10 000 = €2 344,55

Odpowiedź

I = €2 344,55

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 896 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €22,50, i = 0,035, N = 10

Wartość bieżąca kuponów

€22,50·(1 − 0,7089)/0,035 = €187,12

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7089 = €708,92

Cena

P = €896,04

Odpowiedź

P = €896,04

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1155 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 6,4/1,07 = 5,981

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −5,981·(−0,015) = 8,972%

P ≈ 1060·(1 + 0,08972) = €1 155,10

Odpowiedź

P = €1 155,10

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,44 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·14% + 0,5·4%·(1 − 0,28) = 8,44%

Odpowiedź

WACC = 8,44%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,98 %

Koszt długu (YTM)

1108 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 2,494%

Wartości rynkowe

D = 2 000·€1 108 = €2 216 000

V = €12 216 000, E/V = 0,8186, D/V = 0,1814

WACC

WACC = 0,8186·13% + 0,1814·2,494%·(1 − 0,25) = 10,98%

Odpowiedź

WACC = 10,98%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,522 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 9 000/1,12 = 8 035,71 → Σ = 8 035,71

rok 2: 9 000/1,254 = 7 174,74 → Σ = 15 210,46

rok 3: 9 000/1,405 = 6 406,02 → Σ = 21 616,48

rok 4: 9 000/1,574 = 5 719,66 → Σ = 27 336,14

rok 5: 9 000/1,762 = 5 106,84 → Σ = 32 442,99

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 2 663,86/5 106,84 = 4,522

Odpowiedź

DPB = 4,522 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,333 lat).

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 20,44 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 127,31

NPV(25%) = −1 248,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·127,31/(127,31 − (−1 248,00)) = 20,46%

dokładnie: NPV(20,44%) = 0 → IRR = 20,44%

Odpowiedź

IRR = 20,44%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation