Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Silnik o mocy 0,37 kW i prędkości 1440 rpm napędza ślimak o liczbie zwojów 1. Ślimacznica ma 60 zębów, a sprawność przekładni wynosi 75 %. Wyznacz moment wyjściowy T_w na wale ślimacznicy.

z = 1N_w = 60n = 1440 rpmP = 0,37 kWη = 75%

T_w = N·m

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni dwustopniowej koło A (48 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 1500 rpm, napędza koło B (50 zębów). Koło C (15 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (80 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu n_out.

n_in = 1500 rpmA = 48B = 50C = 15D = 80

n_out = rpm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 100 kW przy 500 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −20 MPa, σᵧ = −50 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 25° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = −20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −20 MPa, σᵧ = 80 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 30° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 40 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 110 GPa). Oba mają długość 400 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 300 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 300 kNpręt: Ø40 mm, E = 200 GParura: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 400 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: aluminium, średnica 60 mm, długość 500 mm, E = 70 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 20 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Drgania mechaniczneŚredni

Masa 200 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 50 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 1900 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.

m = 200 kgk = 50 kN/mc = 1900 N·s/m

ζ =

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 25 kg wisi na sprężynie k₃ = 100 kN/m. Górny koniec k₃ jest przymocowany do sztywnej belki, która wisi na dwóch sprężynach obok siebie, k₁ = 80 kN/m i k₂ = 25 kN/m; belka pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie oraz masy sprężyn i belki. Wyznacz częstotliwość drgań własnych f_n w kierunku pionowym w Hz.

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: T_w = 110,4 N·m

Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.

Prędkość ślimacznicy

n_w = n·z/N_w = 1440·1/60 = 24 rpm

Moment wyjściowy

ω_w = 2π·24/60 = 2,513 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,75·370/2,513 = 110,4 N·m

Odpowiedź

T_w = 110,4 N·m

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: n_out = 270 rpm

Pierwszy stopień

n_B = 1500·48/50 = 1440 rpm = n_C

Drugi stopień

n_out = 1440·15/80 = 270 rpm

Odpowiedź

n_out = 270 rpm

przełożenie całkowite = 5,556 : 1

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 8,314 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·79522) = 0,1451 rad

φ = 0,1451·180/π = 8,314°

Odpowiedź

φ = 8,314°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 16,47 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·50/5,796 × 10⁶ = 16,47 MPa

Odpowiedź

τ_max = 16,47 MPa

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = −59,96 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = −35 − 15·0,6428 − 20·0,766 = −59,96 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = −10,04 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −70 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = −59,96 MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 39,64 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 30 + −50·0,5 + −40·−0,866 = 39,64 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 39,64 MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,1013 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Skrócenie

δ = 300000·400/1,184 × 10⁹ = 0,1013 mm

Odpowiedź

δ = 0,1013 mm

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 3,737 MPa

Sztywności

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 20000·395841/749270 = 10566 N

Naprężenie

σ₂ = 10566/2827 = 3,737 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 3,737 MPa

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 141,5 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1250² = 141491 N = 141,5 kN

Odpowiedź

P_cr = 141,5 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 69,09 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 69,09 MPa

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: ζ = 0,3004

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tłumienie krytyczne

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·200) = 6325 N·s/m

Współczynnik tłumienia

ζ = c/c_c = 1900/6325 = 0,3004

Odpowiedź

ζ = 0,3004

ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_n = 7,204 Hz

Sztywność zastępcza

Tylko k₁ i k₂ są połączone równolegle. Ta para jest szeregowo z k₃, więc połącz je przez odwrotności.

k₁₂ = 80 + 25 = 105 kN/m

k_eq = 105·100/(105 + 100) = 51,22 kN/m

Częstotliwość drgań własnych

ω_n = √(51220/25) = 45,26 rad/s

f_n = 45,26/(2π) = 7,204 Hz

Odpowiedź

f_n = 7,204 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design