Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Silnik o mocy 15 kW pracujący z prędkością 1500 rpm napędza zębnik o 16 zębach, który zazębia się z kołem o 45 zębach. Sprawność pary kół wynosi 98%. Wyznacz moment obrotowy T₁ na wale silnika.

P = 15 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 16N₂ = 45η = 98%

T₁ = N·m

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni dwustopniowej koło A (18 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 1500 rpm, napędza koło B (36 zębów). Koło C (40 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (48 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu n_out.

n_in = 1500 rpmA = 18B = 36C = 40D = 48

n_out = rpm

3.Skręcanie wałówŚredni

W próbie skręcania pełna próbka o średnicy 15 mm jest skręcana momentem 75 N·m. Końce odcinka pomiarowego o długości 400 mm obracają się względem siebie o 4,32° (materiał jest jeszcze w zakresie sprężystym). Wyznacz moduł sprężystości postaciowej G materiału.

T = 75 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 4,32°

G = GPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 50 kW przy 300 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,7 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 80 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 50 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −20 MPa, σᵧ = 120 MPa i τₓᵧ = −10 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 50 MPa, σᵧ = 50 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 50° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: aluminium, średnica 40 mm, długość 300 mm, E = 70 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,25 mm.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 25 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 120 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: mosiądz, średnica zewnętrzna 80 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 100 GPa, naprężenie dopuszczalne 100 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MParura: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 25 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 25 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

Masa 50 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 25 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 670 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.

m = 50 kgk = 25 kN/mc = 670 N·s/m

ζ =

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 100 kg wisi na sprężynie k₃ = 40 kN/m. Górny koniec k₃ jest przymocowany do sztywnej belki, która wisi na dwóch sprężynach obok siebie, k₁ = 50 kN/m i k₂ = 40 kN/m; belka pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie oraz masy sprężyn i belki. Wyznacz częstotliwość drgań własnych f_n w kierunku pionowym w Hz.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: T₁ = 95,49 N·m

Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.

Moment silnika

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Odpowiedź

T₁ = 95,49 N·m

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: n_out = 625 rpm

Pierwszy stopień

n_B = 1500·18/36 = 750 rpm = n_C

Drugi stopień

n_out = 750·40/48 = 625 rpm

Odpowiedź

n_out = 625 rpm

przełożenie całkowite = 2,4 : 1

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: G = 80,06 GPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności i kąt

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 4,32·π/180 = 0,0754 rad

Moduł sprężystości poprzecznej

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(4970·0,0754) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Odpowiedź

G = 80,06 GPa

Porównaj: stal ≈ 80 GPa, mosiądz ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 51,09 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·80·0,7599)) = 51,09 mm

d_i = 0,7·51,09 = 35,76 mm

Odpowiedź

d_o = 51,09 mm

Wał pełny wymagałby d = 46,62 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 70,71 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((−20 − 120)/2)² + −10²) = 70,71 MPa

Odpowiedź

τ_max = 70,71 MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = −10,42 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −0·0,9848 + 60·−0,1736 = −10,42 MPa

Odpowiedź

τ_θ = −10,42 MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 21,99 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3,41 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,25/1,137 × 10⁻⁵ = 21991 N = 21,99 kN

Odpowiedź

P = 21,99 kN

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 242,7 kN

Pola

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·3063 = 4,045 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,0006·4,045 × 10⁸ = 242688 N = 242,7 kN

Odpowiedź

P_max = 242,7 kN

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 27,56 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1500 = 3000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Odpowiedź

P_cr = 27,56 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 29,66 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 29,66 mm

Odpowiedź

d = 29,66 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 134,9, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: ζ = 0,2996

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tłumienie krytyczne

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·50) = 2236 N·s/m

Współczynnik tłumienia

ζ = c/c_c = 670/2236 = 0,2996

Odpowiedź

ζ = 0,2996

ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_n = 2,648 Hz

Sztywność zastępcza

Tylko k₁ i k₂ są połączone równolegle. Ta para jest szeregowo z k₃, więc połącz je przez odwrotności.

k₁₂ = 50 + 40 = 90 kN/m

k_eq = 90·40/(90 + 40) = 27,69 kN/m

Częstotliwość drgań własnych

ω_n = √(27692/100) = 16,64 rad/s

f_n = 16,64/(2π) = 2,648 Hz

Odpowiedź

f_n = 2,648 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design