Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Silnik o mocy 4 kW pracujący z prędkością 2900 rpm napędza zębnik o 24 zębach, który zazębia się z kołem o 72 zębach. Sprawność pary kół wynosi 98%. Wyznacz moment wyjściowy T₂ na wale koła.

P = 4 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 24N₂ = 72η = 98%

T₂ = N·m

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni dwustopniowej koło A (40 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 3000 rpm, napędza koło B (50 zębów). Koło C (25 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (80 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu n_out.

n_in = 3000 rpmA = 40B = 50C = 25D = 80

n_out = rpm

3.Skręcanie wałówŚredni

Drążony wał (stal) (średnica zewnętrzna 30 mm, wewnętrzna 21 mm, długość 1,5 m) jest utwierdzony na jednym końcu i skręcany momentem 1000 N·m na drugim. Wyznacz kąt skręcenia φ w stopniach.

T = 1000 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 10 kW przy 1000 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 60 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 80 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 15° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 25 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: brąz, średnica 50 mm, długość 400 mm, E = 110 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,5 mm.

odcinek 1: stal, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaodcinek 2: brąz, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 30 kNodcinek 1: Ø40 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 1 m, mosiądz (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 10 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 10 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

Masa 15 kg na sprężynie o sztywności 200 kN/m ma tłumik wiskotyczny dający współczynnik tłumienia 0,35. Wyznacz częstotliwość drgań swobodnych tłumionych f_d w Hz.

m = 15 kgk = 200 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 5 kg wisi na sprężynie k₃ = 25 kN/m. Górny koniec k₃ jest przymocowany do sztywnej belki, która wisi na dwóch sprężynach obok siebie, k₁ = 40 kN/m i k₂ = 5 kN/m; belka pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie oraz masy sprężyn i belki. Wyznacz częstotliwość drgań własnych f_n w kierunku pionowym w Hz.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: T₂ = 38,72 N·m

Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.

Moment silnika

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/303,7 = 13,17 N·m

Moment wyjściowy

T₂ = 13,17·72/24·0,98 = 38,72 N·m

Odpowiedź

T₂ = 38,72 N·m

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: n_out = 750 rpm

Pierwszy stopień

n_B = 3000·40/50 = 2400 rpm = n_C

Drugi stopień

n_out = 2400·25/80 = 750 rpm

Odpowiedź

n_out = 750 rpm

przełożenie całkowite = 4 : 1

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 17,78 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Kąt skręcenia

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1500/(80000·60428) = 0,3103 rad

φ = 0,3103·180/π = 17,78°

Odpowiedź

φ = 17,78°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 20,09 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm

Odpowiedź

d = 20,09 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −31,72 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 20/44,72 = 0,4472, sin 2θ_s = −40/44,72 = −0,8944

2θ_s = atan2(−40, 20) = −63,43°

Kąt na elemencie

θ_s = −31,72°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −31,72 − 13,28 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −31,72°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 27,63 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −5 + 55·0,866 + −30·0,5 = 27,63 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 27,63 MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 101,9 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1,852 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,5/4,908 × 10⁻⁶ = 101879 N = 101,9 kN

Odpowiedź

P = 101,9 kN

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,174 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 23,87 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 23,87·2000/70000 = 0,6821 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 149,2·1000/100000 = 1,492 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,174 mm

Odpowiedź

δ = 2,174 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 177,2 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2800² = 177179 N = 177,2 kN

Odpowiedź

P_cr = 177,2 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 48 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 48 mm

Odpowiedź

d = 48 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 250, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_d = 17,22 Hz

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Częstotliwość drgań własnych nietłumionych

ω_n = √(200000/15) = 115,5 rad/s

f_n = 115,5/(2π) = 18,38 Hz

Częstotliwość drgań tłumionych

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 18,38·√(1 − 0,35²) = 17,22 Hz

Odpowiedź

f_d = 17,22 Hz

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_n = 9,023 Hz

Sztywność zastępcza

Tylko k₁ i k₂ są połączone równolegle. Ta para jest szeregowo z k₃, więc połącz je przez odwrotności.

k₁₂ = 40 + 5 = 45 kN/m

k_eq = 45·25/(45 + 25) = 16,07 kN/m

Częstotliwość drgań własnych

ω_n = √(16071/5) = 56,69 rad/s

f_n = 56,69/(2π) = 9,023 Hz

Odpowiedź

f_n = 9,023 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design