Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Silnik o mocy 2,2 kW pracujący z prędkością 1440 rpm napędza zębnik o 25 zębach i module 2,5 mm. Wyznacz siłę obwodową F_t działającą na zęby zębnika.

P = 2,2 kWn = 1440 rpmN₁ = 25m = 2,5 mm

F_t = N

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni dwustopniowej koło A (36 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 3000 rpm, napędza koło B (40 zębów). Koło C (50 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (72 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu n_out.

n_in = 3000 rpmA = 36B = 40C = 50D = 72

n_out = rpm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 5 kW przy 1000 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,7 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 80 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 5 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 30° zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −50 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 45° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 20 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: aluminium, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 70 GPa). Oba mają długość 400 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 100 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 100 kNpręt: Ø20 mm, E = 200 GParura: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 10 kNodcinek 1: Ø25 mm, 0,5 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 2 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 85 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 85 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

Masa 150 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 200 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 880 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.

m = 150 kgk = 200 kN/mc = 880 N·s/m

ζ =

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 40 kg wisi na dwóch sprężynach obok siebie (równolegle) o sztywnościach k₁ = 60 kN/m i k₂ = 80 kN/m. Masa pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie i masy sprężyn. Wyznacz częstotliwość drgań własnych f_n w kierunku pionowym w Hz.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: F_t = 466,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Moment na zębniku

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Średnica podziałowa

d = m·N = 2,5·25 = 62,5 mm

Siła obwodowa

F_t = 2T/d = 2·14,59/0,0625 = 466,9 N

Odpowiedź

F_t = 466,9 N

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: n_out = 1875 rpm

Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.

Pierwszy stopień

n_B = 3000·36/40 = 2700 rpm = n_C

Drugi stopień

n_out = 2700·50/72 = 1875 rpm

Odpowiedź

n_out = 1875 rpm

przełożenie całkowite = 1,6 : 1

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 4,503 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·79522) = 0,0786 rad

φ = 0,0786·180/π = 4,503°

Odpowiedź

φ = 4,503°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 15,87 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·80·0,7599)) = 15,87 mm

d_i = 0,7·15,87 = 11,11 mm

Odpowiedź

d_o = 15,87 mm

Wał pełny wymagałby d = 14,49 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = −7,321 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = −10 − (−40)·0,5 − (−20)·(−0,866) = −7,321 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = −12,68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −20 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = −7,321 MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 15 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −25 + −25·0 + −40·−1 = 15 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 15 MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,05578 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·9346 = 7,171 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 100000·400/7,171 × 10⁸ = 0,05578 mm

Odpowiedź

δ = 0,05578 mm

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,4054 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 20,37 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,37·500/117000 = 0,08706 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31,83·2000/200000 = 0,3183 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,4054 mm

Odpowiedź

δ = 0,4054 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 269,2 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1500 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

Odpowiedź

P_cr = 269,2 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 139,5 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 139,5 mm

Odpowiedź

d = 139,5 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 344, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: ζ = 0,08033

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tłumienie krytyczne

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·150) = 10954 N·s/m

Współczynnik tłumienia

ζ = c/c_c = 880/10954 = 0,08033

Odpowiedź

ζ = 0,08033

ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_n = 9,416 Hz

Sztywność zastępcza

Sprężyny obok siebie mają to samo ugięcie, a ich siły się sumują, więc ich sztywności po prostu się dodaje: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 80 = 140 kN/m

Częstotliwość drgań własnych

ω_n = √(140000/40) = 59,16 rad/s

f_n = 59,16/(2π) = 9,416 Hz

Odpowiedź

f_n = 9,416 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design