Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Silnik o mocy 15 kW pracujący z prędkością 2900 rpm napędza zębnik o 16 zębach, który zazębia się z kołem o 45 zębach. Pomiń straty. Wyznacz moment wyjściowy T₂ na wale koła.

P = 15 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 16N₂ = 45η = 100%

T₂ = N·m

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni wielostopniowej koło A (24 zębów) na wale wejściowym obraca się z prędkością 3000 rpm i napędza koło B (72 zębów). Koło C (12 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D na wale wyjściowym. Wał wyjściowy ma się obracać z prędkością 800 rpm. Ile zębów N_D musi mieć koło D?

n_in = 3000 rpmA = 24B = 72C = 12n_out = 800 rpm

N_D =

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 500 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 20 kW przy 1800 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 30 MPa, σᵧ = −70 MPa i τₓᵧ = 50 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = 30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −80 MPa, σᵧ = −80 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 30° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (mosiądz), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 90 kNodcinek 1: Ø40 mm, 2 m, stal (E = 200 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 2 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 125 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 125 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

W próbie drgań swobodnych tłumionego układu masa–sprężyna po maksimum przemieszczenia 12 mm po 4 cyklach następuje maksimum 0,6 mm. Wyznacz współczynnik tłumienia ζ.

x₀ = 12 mmx₄ = 0,6 mmn = 4

ζ =

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 25 kg wisi na dwóch sprężynach połączonych jedna pod drugą (szeregowo): górna sprężyna ma k₁ = 15 kN/m, a dolna k₂ = 80 kN/m. Pomiń tłumienie i masy sprężyn. Wyznacz częstotliwość drgań własnych f_n w kierunku pionowym w Hz.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: T₂ = 138,9 N·m

Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.

Moment silnika

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/303,7 = 49,39 N·m

Moment wyjściowy

T₂ = 49,39·45/16·1 = 138,9 N·m

Odpowiedź

T₂ = 138,9 N·m

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: N_D = 15

Prędkość wału pośredniego

n_B = n_C = 3000·24/72 = 1000 rpm

Liczba zębów koła D

N_D = C·n_C/n_out = 12·1000/800 = 15

Odpowiedź

N_D = 15

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 1,437 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·613592) = 0,02507 rad

φ = 0,02507·180/π = 1,437°

Odpowiedź

φ = 1,437°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 19,31 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·75)) = 19,31 mm

Odpowiedź

d = 19,31 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 70,71 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = −20 MPa, R = √(50² + 50²) = 70,71 MPa

σ₁ = 50,71 MPa, σ₂ = −90,71 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(141,4, 50,71, 90,71)/2 = 70,71 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 70,71 MPa

Tutaj σ₁ i σ₂ mają przeciwne znaki, więc maksimum w płaszczyźnie R jest też maksimum bezwzględnym.

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −123,3 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −80 + 0·0,5 + −50·0,866 = −123,3 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −123,3 MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 1273 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/706,9 = 127,3 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/100000 = 0,001273 = 1273 µε

Odpowiedź

ε = 1273 µε

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 8,674 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,62·2000/200000 = 0,7162 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795,8·2000/200000 = 7,958 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,674 mm

Odpowiedź

δ = 8,674 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 56,4 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1050² = 56398 N = 56,4 kN

Odpowiedź

P_cr = 56,4 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 54,32 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 54,32 mm

Odpowiedź

d = 54,32 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 110,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: ζ = 0,1184

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logarytmiczny dekrement tłumienia

δ = (1/4)·ln(12/0,6) = 0,7489

Współczynnik tłumienia

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7489/√(39,48 + 0,5609) = 0,1184

Odpowiedź

ζ = 0,1184

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_n = 3,577 Hz

Sztywność zastępcza

Sprężyny szeregowe przenoszą tę samą siłę, a ich ugięcia się sumują, więc łączy się je przez odwrotności: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/80 → k_eq = 15·80/(15 + 80) = 12,63 kN/m

Częstotliwość drgań własnych

ω_n = √(12632/25) = 22,48 rad/s

f_n = 22,48/(2π) = 3,577 Hz

Odpowiedź

f_n = 3,577 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design