Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Ślimak o liczbie zwojów 3 obraca się z prędkością 1440 rpm i napędza ślimacznicę o 45 zębach. Wyznacz prędkość obrotową n_w ślimacznicy.

z = 3N_w = 45n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni wielostopniowej koło A (15 zębów) na wale wejściowym obraca się z prędkością 2880 rpm i napędza koło B (20 zębów). Koło C (20 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D na wale wyjściowym. Wał wyjściowy ma się obracać z prędkością 600 rpm. Ile zębów N_D musi mieć koło D?

n_in = 2880 rpmA = 15B = 20C = 20n_out = 600 rpm

N_D =

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 60 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 250 N·m działa w B, w odległości 1,2 m od A, a moment 500 N·m o tym samym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 1 m dalej. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,2 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 25 mm przenosi osiową siłę ściskającą 100 kN wraz z momentem skręcającym 250 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 25 mmF = −100 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (aluminium) pod obciążeniem osiowym.

P = 50 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 70 kNodcinek 1: Ø40 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 0,5 m, miedź (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 150 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 150 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

Masa 2 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 1 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 50 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.

m = 2 kgk = 1 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 10 kg wisi na dwóch sprężynach obok siebie (równolegle) o sztywnościach k₁ = 100 kN/m i k₂ = 10 kN/m. Masa pozostaje pozioma. Wyznacz sztywność zastępczą k_eq układu sprężyn w kN/m.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: n_w = 96 rpm

Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.

Prędkość ślimacznicy

n_w = n·z/N_w = 1440·3/45 = 96 rpm

Odpowiedź

n_w = 96 rpm

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: N_D = 72

Prędkość wału pośredniego

n_B = n_C = 2880·15/20 = 2160 rpm

Liczba zębów koła D

N_D = C·n_C/n_out = 20·2160/600 = 72

Odpowiedź

N_D = 72

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 5,603 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·38350) = 0,09778 rad

φ = 0,09778·180/π = 5,603°

Odpowiedź

φ = 5,603°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 17,68 MPa

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 250 = 750 N·m

Maksymalne naprężenie styczne

Największe naprężenie ma odcinek z największym momentem wewnętrznym (ta sama średnica).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

Odpowiedź

τ_max = 17,68 MPa

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −13,28 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 60/67,08 = 0,8944, sin 2θ_s = −30/67,08 = −0,4472

2θ_s = atan2(−30, 60) = −26,57°

Kąt na elemencie

θ_s = −13,28°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −13,28 − 31,72 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −13,28°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 28,58 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = −100000/(π·25²/4) = −100000/490,9 = −203,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = −101,9 MPa

R = √((−101,9)² + 81,49²) = 130,4 MPa

σ₁ = C + R = 28,58 MPa

σ₂ = C − R = −232,3 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 28,58 MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 10,66 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/70000 = 0,003553 = 3553 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,003553·3000 mm = 10,66 mm

Odpowiedź

δ = 10,66 mm

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 222,8 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 55,7 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 222,8 MPa

Odpowiedź

σ_max = 222,8 MPa

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 27,04 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2800² = 27035 N = 27,04 kN

Odpowiedź

P_cr = 27,04 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 51,37 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 51,37 mm

Odpowiedź

d = 51,37 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 116,8, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: ζ = 0,559

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tłumienie krytyczne

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(1000·2) = 89,44 N·s/m

Współczynnik tłumienia

ζ = c/c_c = 50/89,44 = 0,559

Odpowiedź

ζ = 0,559

ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: k_eq = 110 kN/m

Sztywność zastępcza

Sprężyny obok siebie mają to samo ugięcie, a ich siły się sumują, więc ich sztywności po prostu się dodaje: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 10 = 110 kN/m

Odpowiedź

k_eq = 110 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design