Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Silnik o mocy 15 kW pracujący z prędkością 1450 rpm napędza zębnik o 24 zębach i module 2,5 mm. Wyznacz siłę obwodową F_t działającą na zęby zębnika.

P = 15 kWn = 1450 rpmN₁ = 24m = 2,5 mm

F_t = N

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni planetarnej koło słoneczne ma 12 zębów, a każdy satelita 18 zębów. Jarzmo jest unieruchomione, a koło słoneczne napędzane z prędkością 1440 rpm. Wyznacz prędkość obrotową n_r koła koronowego (wartość bezwzględną).

N_s = 12N_p = 18n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

3.Skręcanie wałówŚredni

Drążony wał (aluminium) (średnica zewnętrzna 50 mm, wewnętrzna 35 mm, długość 2 m) jest utwierdzony na jednym końcu i skręcany momentem 2000 N·m na drugim. Wyznacz kąt skręcenia φ w stopniach.

T = 2000 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 20 kW przy 1450 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 20 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 1500 mm i grubości ścianki 6 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 0,5 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 60° do osi walca. Wyznacz wartość naprężenia stycznego |τ_n| działającego wzdłuż spoiny.

D = 1500 mmt = 6 mmp = 0,5 MPaα = 60°

|τ_n| = MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (stal), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 50 kNodcinek 1: Ø30 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 50 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 50 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

Masa 40 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 150 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 390 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.

m = 40 kgk = 150 kN/mc = 390 N·s/m

ζ =

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 40 kg wisi na dwóch sprężynach połączonych jedna pod drugą (szeregowo): górna sprężyna ma k₁ = 25 kN/m, a dolna k₂ = 50 kN/m. Pomiń tłumienie i masy sprężyn. Wyznacz częstotliwość drgań własnych f_n w kierunku pionowym w Hz.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: F_t = 3293 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Moment na zębniku

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Średnica podziałowa

d = m·N = 2,5·24 = 60 mm

Siła obwodowa

F_t = 2T/d = 2·98,79/0,06 = 3293 N

Odpowiedź

F_t = 3293 N

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: n_r = 360 rpm

Przekładnie planetarne: prędkości koła słonecznego, koronowego i jarzma wiąże wzór Willisa (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: widziana z jarzma przekładnia jest zwykłą przekładnią z satelitami jako kołami pośredniczącymi. Unieruchomienie jednego członu zamienia ją w reduktor o jednym przełożeniu.

Liczba zębów koła koronowego

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·18 = 48

Wzór Willisa przy nieruchomym jarzmie

Przy n_c = 0 koło słoneczne napędza koło koronowe przez satelity, które działają jak koła pośredniczące.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·12/48 = −360 rpm

|n_r| = 360 rpm

Odpowiedź

n_r = 360 rpm

Koło koronowe obraca się przeciwnie do koła słonecznego.

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 18,9 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Kąt skręcenia

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·2000/(26000·466269) = 0,33 rad

φ = 0,33·180/π = 18,9°

Odpowiedź

φ = 18,9°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 7,062 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 131714·25/466269 = 7,062 MPa

Odpowiedź

τ_max = 7,062 MPa

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 56,57 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((30 − −50)/2)² + 40²) = 56,57 MPa

Odpowiedź

τ_max = 56,57 MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: |τ_n| = 13,53 MPa

Naprężenia w ściance

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 0,5·750/6 = 62,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 31,25 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

|τ_n| = (62,5 − 31,25)·sin 60°·cos 60° = 13,53 MPa

Odpowiedź

|τ_n| = 13,53 MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 3979 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 90·1000/113,1 = 795,8 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 795,8/200000 = 0,003979 = 3979 µε

Odpowiedź

ε = 3979 µε

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,221 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 70,74 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 70,74·1000/70000 = 1,011 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442,1·1000/200000 = 2,21 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,221 mm

Odpowiedź

δ = 3,221 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 154,2 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/1000² = 154213 N = 154,2 kN

Odpowiedź

P_cr = 154,2 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 51,12 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 51,12 mm

Odpowiedź

d = 51,12 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 164,3, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: ζ = 0,07961

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tłumienie krytyczne

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m

Współczynnik tłumienia

ζ = c/c_c = 390/4899 = 0,07961

Odpowiedź

ζ = 0,07961

ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_n = 3,249 Hz

Sztywność zastępcza

Sprężyny szeregowe przenoszą tę samą siłę, a ich ugięcia się sumują, więc łączy się je przez odwrotności: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/50 → k_eq = 25·50/(25 + 50) = 16,67 kN/m

Częstotliwość drgań własnych

ω_n = √(16667/40) = 20,41 rad/s

f_n = 20,41/(2π) = 3,249 Hz

Odpowiedź

f_n = 3,249 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design