Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Ślimak o liczbie zwojów 2 obraca się z prędkością 1440 rpm i napędza ślimacznicę o 48 zębach. Wyznacz prędkość obrotową n_w ślimacznicy.

z = 2N_w = 48n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni wielostopniowej koło A (18 zębów) na wale wejściowym obraca się z prędkością 1500 rpm i napędza koło B (24 zębów). Koło C (48 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D na wale wyjściowym. Wał wyjściowy ma się obracać z prędkością 1080 rpm. Ile zębów N_D musi mieć koło D?

n_in = 1500 rpmA = 18B = 24C = 48n_out = 1080 rpm

N_D =

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (stal) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 30 mm i długość 1,5 m; odcinek BC ma średnicę 25 mm i długość 1,5 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 400 N·m. Wyznacz kąt skręcenia φ_C końca C w stopniach.

T = 400 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 10 kW przy 1000 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 80 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −60 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Granica plastyczności materiału wynosi 275 MPa. Wyznacz współczynnik bezpieczeństwa n względem uplastycznienia według hipotezy Hubera-Misesa (energii odkształcenia postaciowego).

σ_x = 110 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (miedź), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 30 kNodcinek 1: Ø30 mm, 1 m, stal (E = 200 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 2 m, mosiądz (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 130 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 130 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

Masa 2 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 20 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 240 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.

m = 2 kgk = 20 kN/mc = 240 N·s/m

ζ =

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 5 kg wisi na dwóch sprężynach połączonych jedna pod drugą (szeregowo): górna sprężyna ma k₁ = 20 kN/m, a dolna k₂ = 30 kN/m. Wyznacz sztywność zastępczą k_eq układu sprężyn w kN/m.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: n_w = 60 rpm

Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.

Prędkość ślimacznicy

n_w = n·z/N_w = 1440·2/48 = 60 rpm

Odpowiedź

n_w = 60 rpm

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: N_D = 50

Prędkość wału pośredniego

n_B = n_C = 1500·18/24 = 1125 rpm

Liczba zębów koła D

N_D = C·n_C/n_out = 48·1125/1080 = 50

Odpowiedź

N_D = 50

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 16,61 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowe momenty bezwładności

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia każdego odcinka

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·1500/(80000·79522) = 0,09431 rad

φ_BC = 400000·1500/(80000·38350) = 0,1956 rad

Całkowity kąt skręcenia

φ_C = 0,09431 + 0,1956 = 0,2899 rad = 16,61°

Odpowiedź

φ_C = 16,61°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 18,25 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18,25 mm

Odpowiedź

d = 18,25 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 30 MPa

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((40 − 40)/2)² + 30²) = 30 MPa

Odpowiedź

τ_max = 30 MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: n = 1,593

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 25 MPa, R = 98,62 MPa

σ₁ = 123,6 MPa, σ₂ = −73,62 MPa, σ₃ = 0

Huber-Mises

σ_vM = √(123,6² − 123,6·(−73,62) + (−73,62)²) = 172,6 MPa

n = 275/172,6 = 1,593

Odpowiedź

n = 1,593

n > 1 oznacza, że punkt się nie uplastycznia; hipoteza Tresci jest nieco bardziej zachowawcza niż hipoteza Hubera-Misesa.

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 10338 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 95·1000/78,54 = 1210 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1210/117000 = 0,01034 = 10338 µε

Odpowiedź

ε = 10338 µε

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,196 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42,44·1000/200000 = 0,2122 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 149,2·2000/100000 = 2,984 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,196 mm

Odpowiedź

δ = 3,196 mm

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 4,441 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·5000 = 10000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/10000² = 4441 N = 4,441 kN

Odpowiedź

P_cr = 4,441 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 100,9 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 100,9 mm

Odpowiedź

d = 100,9 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 119, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: ζ = 0,6

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tłumienie krytyczne

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·2) = 400 N·s/m

Współczynnik tłumienia

ζ = c/c_c = 240/400 = 0,6

Odpowiedź

ζ = 0,6

ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: k_eq = 12 kN/m

Sztywność zastępcza

Sprężyny szeregowe przenoszą tę samą siłę, a ich ugięcia się sumują, więc łączy się je przez odwrotności: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/30 → k_eq = 20·30/(20 + 30) = 12 kN/m

Odpowiedź

k_eq = 12 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design