Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Silnik o mocy 5,5 kW pracujący z prędkością 1500 rpm napędza zębnik o 15 zębach, który zazębia się z kołem o 72 zębach. Sprawność pary kół wynosi 95%. Wyznacz moment obrotowy T₁ na wale silnika.

P = 5,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 15N₂ = 72η = 95%

T₁ = N·m

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni dwustopniowej koło A (30 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 1500 rpm, napędza koło B (60 zębów). Koło C (48 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (72 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu n_out.

n_in = 1500 rpmA = 30B = 60C = 48D = 72

n_out = rpm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) o średnicy 40 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 500 N·m działa w B, w odległości 1 m od A, a moment 400 N·m o tym samym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 0,8 m dalej. Wyznacz wartość kąta skręcenia φ_C końca C w stopniach.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 400 N·mAB = 1 mBC = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 40 mm przenosi osiową siłę ściskającą 60 kN wraz z momentem skręcającym 2000 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

d = 40 mmF = −60 kNT = 2000 N·m

τ_max = MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 25 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 110 GPa). Oba mają długość 400 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 300 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 300 kNpręt: Ø25 mm, E = 200 GParura: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 600 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: aluminium, średnica 50 mm, długość 500 mm, E = 70 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 80 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 25 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 25 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

W próbie drgań swobodnych tłumionego układu masa–sprężyna po maksimum przemieszczenia 40 mm po 5 cyklach następuje maksimum 1,7 mm. Wyznacz współczynnik tłumienia ζ.

x₀ = 40 mmx₅ = 1,7 mmn = 5

ζ =

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 10 kg wisi na sprężynie k₃ = 12 kN/m. Górny koniec k₃ jest przymocowany do sztywnej belki, która wisi na dwóch sprężynach obok siebie, k₁ = 10 kN/m i k₂ = 50 kN/m; belka pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie oraz masy sprężyn i belki. Wyznacz częstotliwość drgań własnych f_n w kierunku pionowym w Hz.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: T₁ = 35,01 N·m

Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.

Moment silnika

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/157,1 = 35,01 N·m

Odpowiedź

T₁ = 35,01 N·m

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: n_out = 500 rpm

Pierwszy stopień

n_B = 1500·30/60 = 750 rpm = n_C

Drugi stopień

n_out = 750·48/72 = 500 rpm

Odpowiedź

n_out = 500 rpm

przełożenie całkowite = 3 : 1

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 2,394 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(39000·613592) = 0,04179 rad

φ = 0,04179·180/π = 2,394°

Odpowiedź

φ = 2,394°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 3,477 °

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 500 = 900 N·m

Kąt skręcenia każdego odcinka

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 900000·1000/(80000·251327) = 0,04476 rad

φ_BC = 400000·800/(80000·251327) = 0,01592 rad

Kąt skręcenia końca C

φ_C = 0,04476 + 0,01592 = 0,06068 rad → |φ_C| = 3,477°

Odpowiedź

φ_C = 3,477°

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −54,99 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = −20/58,52 = −0,3417, sin 2θ_s = −55/58,52 = −0,9398

2θ_s = atan2(−55, −20) = −110°

Kąt na elemencie

θ_s = −54,99°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −54,99 − (−9,992) = −45°

Odpowiedź

θ_s = −54,99°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 160,9 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = −60000/(π·40²/4) = −60000/1257 = −47,75 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = −23,87 MPa

R = √((−23,87)² + 159,2²) = 160,9 MPa

Odpowiedź

τ_max = 160,9 MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,1306 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·7461 = 9,189 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 300000·400/9,189 × 10⁸ = 0,1306 mm

Odpowiedź

δ = 0,1306 mm

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 16,14 MPa

Sztywności

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 80000·274889/693768 = 31698 N

Naprężenie

σ₂ = 31698/1963 = 16,14 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 16,14 MPa

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 3,504 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2800² = 3504 N = 3,504 kN

Odpowiedź

P_cr = 3,504 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 49,28 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 49,28 mm

Odpowiedź

d = 49,28 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 162,3, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: ζ = 0,1

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logarytmiczny dekrement tłumienia

δ = (1/5)·ln(40/1,7) = 0,6317

Współczynnik tłumienia

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6317/√(39,48 + 0,399) = 0,1

Odpowiedź

ζ = 0,1

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_n = 5,033 Hz

Sztywność zastępcza

Tylko k₁ i k₂ są połączone równolegle. Ta para jest szeregowo z k₃, więc połącz je przez odwrotności.

k₁₂ = 10 + 50 = 60 kN/m

k_eq = 60·12/(60 + 12) = 10 kN/m

Częstotliwość drgań własnych

ω_n = √(10000/10) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Odpowiedź

f_n = 5,033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design