Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Dwa równoległe wały są oddalone o 100 mm. Mają być połączone parą kół zębatych walcowych o module 4 mm i przełożeniu redukującym 1,5 : 1. Ile zębów N₂ musi mieć koło?

a = 100 mmm = 4 mmi = 1,5

N₂ =

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

Pas otwarty łączy koło napędzające 125 mm o prędkości 1450 obr/min z kołem 200 mm; środki są oddalone o 500 mm. Współczynnik tarcia wynosi 0,3, a siła w cięgnie czynnym nie może przekroczyć 800 N. Wyznacz największą moc P, jaką pas może przenieść bez poślizgu, w kW (pomiń efekty odśrodkowe).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 200 mmC = 500 mmμ = 0,3T₁ = 800 N

P = kW

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 100 kW przy 1000 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,5 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 40 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −40 MPa, σᵧ = −60 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa i τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Granica plastyczności materiału wynosi 300 MPa. Wyznacz współczynnik bezpieczeństwa n względem uplastycznienia według hipotezy Tresci (maksymalnego naprężenia stycznego).

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (mosiądz), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 100 kNodcinek 1: Ø25 mm, 1 m, stal (E = 200 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 105 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 105 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

Masa 15 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 100 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 1220 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.

m = 15 kgk = 100 kN/mc = 1220 N·s/m

ζ =

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 20 kg wisi na sprężynie k₃ = 50 kN/m. Górny koniec k₃ jest przymocowany do sztywnej belki, która wisi na dwóch sprężynach obok siebie, k₁ = 60 kN/m i k₂ = 50 kN/m; belka pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie oraz masy sprężyn i belki. Wyznacz częstotliwość drgań własnych f_n w kierunku pionowym w Hz.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: N₂ = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Łączna liczba zębów

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·100/4 = 50

Podział według przełożenia

N₁ = 50/(1 + 1,5) = 20

N₂ = 1,5·20 = 30

Odpowiedź

N₂ = 30

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: P = 4,498 kW

Przekładnie pasowe: bez poślizgu oba koła pasowe mają tę samą prędkość obwodową v = π·d·n/60, więc n₁·d₁ = n₂·d₂, a przełożenie wynosi d₂/d₁. Poślizg s sprawia, że koło napędzane obraca się nieco wolniej: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Przenoszona moc to P = (T₁ − T₂)·v, gdzie T₁ to siła w cięgnie czynnym, a T₂ w biernym. Tarcie ogranicza stosunek sił: T₁/T₂ = e^μθ, gdzie θ jest kątem opasania w radianach na mniejszym kole; dla pasa otwartego θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) przy rozstawie osi C.

Kąt opasania

θ = 2,991 rad

Siła w cięgnie biernym

e^μθ = e^0,8974 = 2,453, T₂ = 800/2,453 = 326,1 N

Moc

P = (800 − 326,1)·9,49 = 4,498 kW

Odpowiedź

P = 4,498 kW

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 22,99 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·38350) = 0,4012 rad

φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Odpowiedź

φ = 22,99°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 50,62 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·40·0,9375)) = 50,62 mm

d_i = 0,5·50,62 = 25,31 mm

Odpowiedź

d_o = 50,62 mm

Wał pełny wymagałby d = 49,54 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 60,83 MPa

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((−40 − −60)/2)² + 60²) = 60,83 MPa

Odpowiedź

τ_max = 60,83 MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: n = 6,972

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = −25 MPa, R = 18,03 MPa

σ₁ = −6,972 MPa, σ₂ = −43,03 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 43,03 MPa

n = 300/43,03 = 6,972

Odpowiedź

n = 6,972

n > 1 oznacza, że punkt się nie uplastycznia; hipoteza Tresci jest nieco bardziej zachowawcza niż hipoteza Hubera-Misesa.

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 8276 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 827,6/100000 = 0,008276 = 8276 µε

Odpowiedź

ε = 8276 µε

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 318,3 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 203,7 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 318,3 MPa

Odpowiedź

σ_max = 318,3 MPa

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 170,5 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1250² = 170547 N = 170,5 kN

Odpowiedź

P_cr = 170,5 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 172,8 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 172,8 mm

Odpowiedź

d = 172,8 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 277,8, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: ζ = 0,4981

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tłumienie krytyczne

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·15) = 2449 N·s/m

Współczynnik tłumienia

ζ = c/c_c = 1220/2449 = 0,4981

Odpowiedź

ζ = 0,4981

ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_n = 6,598 Hz

Sztywność zastępcza

Tylko k₁ i k₂ są połączone równolegle. Ta para jest szeregowo z k₃, więc połącz je przez odwrotności.

k₁₂ = 60 + 50 = 110 kN/m

k_eq = 110·50/(110 + 50) = 34,38 kN/m

Częstotliwość drgań własnych

ω_n = √(34375/20) = 41,46 rad/s

f_n = 41,46/(2π) = 6,598 Hz

Odpowiedź

f_n = 6,598 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design