Projektowanie maszyn: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Koła i przekładnie zębate

Zazębione koła: n₁·N₁ = n₂·N₂
Moment skręcający: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Moc: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Przekładnia wielostopniowa: przełożenie całkowite = iloczyn przełożeń poszczególnych stopni

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

Drgania mechaniczne

Częstotliwość drgań własnych: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Z ugięcia statycznego: ω_n = √(g/δ_st)
Tłumienie krytyczne: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Współczynnik tłumienia: ζ = c/c_c
Częstotliwość drgań tłumionych: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarytmiczny dekrement tłumienia: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Sprężyny połączone równolegle: k = k₁ + k₂
Sprężyny połączone szeregowo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Zadania do ćwiczenia

1.Koła i przekładnie zębateŚredni

Silnik o mocy 1,5 kW i prędkości 1450 rpm napędza ślimak o liczbie zwojów 1. Ślimacznica ma 80 zębów, a sprawność przekładni wynosi 80 %. Wyznacz moment wyjściowy T_w na wale ślimacznicy.

z = 1N_w = 80n = 1450 rpmP = 1,5 kWη = 80%

T_w = N·m

2.Koła i przekładnie zębateTrudny

W przekładni dwustopniowej koło A (45 zębów) na wale wejściowym, obracające się z prędkością 3000 rpm, napędza koło B (60 zębów). Koło C (36 zębów) jest osadzone na tym samym wale co B i napędza koło D (72 zębów) na wale wyjściowym. Wyznacz prędkość obrotową na wyjściu n_out.

n_in = 3000 rpmA = 45B = 60C = 36D = 72

n_out = rpm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 75 kW przy 1450 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −50 MPa i τₓᵧ = 20 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = −20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 90 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Wyznacz naprężenie zastępcze σ_vM według hipotezy Hubera-Misesa.

σ_x = 80 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (mosiądz), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 45 kNodcinek 1: Ø25 mm, 1 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 85 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 85 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

11.Drgania mechaniczneŚredni

Masa 20 kg na sprężynie o sztywności 150 kN/m ma tłumik wiskotyczny dający współczynnik tłumienia 0,6. Wyznacz częstotliwość drgań swobodnych tłumionych f_d w Hz.

m = 20 kgk = 150 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Drgania mechaniczneTrudny

Masa 40 kg wisi na sprężynie k₃ = 40 kN/m. Górny koniec k₃ jest przymocowany do sztywnej belki, która wisi na dwóch sprężynach obok siebie, k₁ = 60 kN/m i k₂ = 80 kN/m; belka pozostaje pozioma. Pomiń tłumienie oraz masy sprężyn i belki. Wyznacz częstotliwość drgań własnych f_n w kierunku pionowym w Hz.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Roztwory

1.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: T_w = 632,2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Prędkość ślimacznicy

n_w = n·z/N_w = 1450·1/80 = 18,13 rpm

Moment wyjściowy

ω_w = 2π·18,13/60 = 1,898 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·1500/1,898 = 632,2 N·m

Odpowiedź

T_w = 632,2 N·m

2.Koła i przekładnie zębate

Odpowiedź: n_out = 1125 rpm

Przekładnie zębate: zazębione koła mają tę samą prędkość na zębach, więc n₁·N₁ = n₂·N₂: koło o mniejszej liczbie zębów obraca się szybciej. Koła na jednym wale obracają się z tą samą prędkością obrotową. Moc jest przekazywana dalej (minus straty), więc moment obrotowy rośnie, gdy prędkość obrotowa maleje: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, a P = T·ω, gdzie ω = 2π·n/60.

Pierwszy stopień

n_B = 3000·45/60 = 2250 rpm = n_C

Drugi stopień

n_out = 2250·36/72 = 1125 rpm

Odpowiedź

n_out = 1125 rpm

przełożenie całkowite = 2,667 : 1

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,4669 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·613592) = 0,008149 rad

φ = 0,008149·180/π = 0,4669°

Odpowiedź

φ = 0,4669°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 26,48 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 493929·25/466269 = 26,48 MPa

Odpowiedź

τ_max = 26,48 MPa

5.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 30 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = −35 MPa, R = √(15² + 20²) = 25 MPa

σ₁ = −10 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(50, 10, 60)/2 = 30 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 30 MPa

Tutaj decyduje koło spoza płaszczyzny: maksimum bezwzględne jest większe niż maksimum w płaszczyźnie R.

6.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_vM = 100 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 85 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 115,4 MPa, σ₂ = 54,59 MPa, σ₃ = 0

Huber-Mises

σ_vM = √(115,4² − 115,4·54,59 + 54,59²) = 100 MPa

Odpowiedź

σ_vM = 100 MPa

7.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 495,1 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/100000 = 0,0004951 = 495,1 µε

Odpowiedź

ε = 495,1 µε

8.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 143,2 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 143,2 MPa

Odpowiedź

σ_max = 143,2 MPa

9.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 23,99 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1500² = 23989 N = 23,99 kN

Odpowiedź

P_cr = 23,99 kN

10.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 52,74 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 52,74 mm

Odpowiedź

d = 52,74 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 159,3, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

11.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_d = 11,03 Hz

Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ω_n = √(k/m) w rad/s, a f_n = ω_n/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/c_c, przy tłumieniu krytycznym c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Częstotliwość drgań własnych nietłumionych

ω_n = √(150000/20) = 86,6 rad/s

f_n = 86,6/(2π) = 13,78 Hz

Częstotliwość drgań tłumionych

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 13,78·√(1 − 0,6²) = 11,03 Hz

Odpowiedź

f_d = 11,03 Hz

12.Drgania mechaniczne

Odpowiedź: f_n = 4,439 Hz

Sztywność zastępcza

Tylko k₁ i k₂ są połączone równolegle. Ta para jest szeregowo z k₃, więc połącz je przez odwrotności.

k₁₂ = 60 + 80 = 140 kN/m

k_eq = 140·40/(140 + 40) = 31,11 kN/m

Częstotliwość drgań własnych

ω_n = √(31111/40) = 27,89 rad/s

f_n = 27,89/(2π) = 4,439 Hz

Odpowiedź

f_n = 4,439 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design