Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 400 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: miedź, średnica 30 mm, długość 300 mm, E = 120 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,25 mm.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 40 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 160 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: aluminium, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 70 GPa, naprężenie dopuszczalne 80 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MParura: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (stal) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 60 mm i długość 1 m; odcinek BC ma średnicę 50 mm i długość 1,2 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 400 N·m. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1 md₂ = 50 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 75 kW przy 750 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,75 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 40 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 75 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 2,5 m od A. Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 70 kN w 2,5 mw = 5 kN/m od 0 do 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

55 kN @ 0 m25 kN @ 6 m4 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 200 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 30 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 84 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 240 mmd = 30 mmśrodek otworu: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 30 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −10 MPa i σᵧ = −50 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 15 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 15 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 50 mm przenosi osiową siłę rozciągającą 60 kN wraz z momentem skręcającym 1500 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

d = 50 mmF = 60 kNT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 39,27 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,25/6,366 × 10⁻⁶ = 39270 N = 39,27 kN

Odpowiedź

P = 39,27 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 676,1 kN

Pola

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8,451 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,0008, 0,001143) = 0,0008 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,0008·8,451 × 10⁸ = 676071 N = 676,1 kN

Odpowiedź

P_max = 676,1 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 16,3 MPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Naprężenie w każdym odcinku

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·60³) = 9,431 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa

Odpowiedź

τ_max = 16,3 MPa

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 56,24 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·40·0,6836)) = 56,24 mm

d_i = 0,75·56,24 = 42,18 mm

Odpowiedź

d_o = 56,24 mm

Wał pełny wymagałby d = 49,54 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −170,6 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −70·2 = −140 kN·m

w: −5·3,5²/2 = −30,63 kN·m

M_x = −140 − 30,63 = −170,6 kN·m

Odpowiedź

M_x = −170,6 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 1 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 62,67 kN, R₂ = 29,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −49,33, M_D = −47,67, M_E = −50, M_F = −25, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = −55 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (48000·120 − 706,9·84)/(48000 − 706,9) = 120,5 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·240³/12 + 48000·−0,5381² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−36,54² = 0,9834 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 221,5 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

środnik: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·150 + 2800·70)/8400 = 123,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·20³/12 + 5600·(150 − 123,3)² = 4,169 × 10⁶ mm⁴

środnik: 20·140³/12 + 2800·(70 − 123,3)² = 1,254 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,169 × 10⁶ + 1,254 × 10⁷ = 1,671 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 123,3 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·123,3/1,671 × 10⁷ = 221,5 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 221,5 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 40,31 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (−10 + (−50))/2 = −30 MPa

R = σ₁ − C = 15 − (−30) = 45 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 20²) = 40,31 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 40,31 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 63 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = 60000/(π·50²/4) = 60000/1963 = 30,56 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = 15,28 MPa

R = √(15,28² + 61,12²) = 63 MPa

Odpowiedź

τ_max = 63 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 31,44 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 31,44 mm

Odpowiedź

δ = 31,44 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,17 × 10⁸ mm⁴

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,159 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·3000 = 6000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/6000² = 2159 N = 2,159 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,159 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 13,77 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/12,5 = 224

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13,77 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 13,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials