Wytrzymałość materiałów: zadania i pytania egzaminacyjne

Inaczej mechanika materiałów: naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia prętów, wałów, belek i słupów. Zadania egzaminacyjne łączą krok ze statyki (siły wewnętrzne) z krokiem z wytrzymałości (naprężenie lub ugięcie), więc błąd w pierwszym kroku przenosi się dalej.

Ćwicz ten przedmiot za darmoĆwicz ten przedmiotNapisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Zestaw na powtórkę (PDF)Wzory, kroki metod i zadania z pełnymi rozwiązaniami, gotowe do wydruku.

Tematy w tym przedmiocie

  1. Naprężenie i odkształcenie osiowenaprężenie normalne · odkształcenie i wydłużenie · pręt schodkowyobliczenia
  2. Skręcanie wałównaprężenie styczne · kąt skręcenia · przenoszenie mocyobliczenia
  3. Siła tnąca i moment zginającysiła skupiona · obciążenie ciągłe na całej rozpiętości · siła skupiona + obciążenie ciągłeobliczenia
  4. Środek ciężkości i moment bezwładnościśrodek ciężkości · moment bezwładności · naprężenie od zginaniaobliczenia
  5. Koło Mohra i transformacja naprężeńnaprężenia główne · maksymalne naprężenie styczne i kierunek główny · naprężenie na płaszczyźnie ukośnejobliczenia
  6. Ugięcie belkiwspornik, siła na końcu · obciążenie równomierne · superpozycja i wymiarowanieobliczenia
  7. Wyboczenie słupówkońce przegubowe · inne warunki podparcia · wymiarowanie i naprężenie krytyczneobliczenia

Wskazówki egzaminacyjne: Wytrzymałość materiałów

  • Pilnuj spójności jednostek: niutony i milimetry dają naprężenia od razu w MPa.
  • Przy skręcaniu używaj promienia, a nie średnicy, w τ = T·r/J.
  • Przy wyboczeniu sprawdź warunki podparcia końców: długość wyboczeniowa może zmienić siłę krytyczną nawet 16 razy.

Przykłady z rozwiązaniami

Naprężenie i odkształcenie osioweŁatwy
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 120 GPa). Oba mają długość 500 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 300 kN. Wyznacz naprężenie ściskające σr w pręcie.

P = 300 kNpręt: Ø30 mm, E = 200 GParura: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Oblicz σr (MPa)

Pokaż podpowiedzi
  1. Sztywne płyty: pręt i rura skracają się o tyle samo, więc ε jest takie samo w obu.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Wspólne odkształcenie

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Naprężenie w pręcie

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Odpowiedź

σr = 70,74 MPa
Skręcanie wałówŚredni
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

Oblicz φ (°)

Pokaż podpowiedzi
  1. Użyj φ = TL/(GJ), co daje radiany.
  2. Używaj wszędzie N i mm: T w N·mm, L w mm, G w MPa (GPa × 1000), J w mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Odpowiedź

φ = 6,576°

Jak wygląda ćwiczenie

  • „Ćwicz ten przedmiot” miesza zadania ze wszystkich jego tematów, jak na prawdziwym egzaminie.
  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Egzaminy próbne są mierzone czasem i nie mają podpowiedzi, a na końcu dostajesz wynik i pełne omówienie.

Kalkulatory do tego kursu

Kalkulator ugięcia belkiKalkulator wykresów sił poprzecznych i momentów zginającychKalkulator skręcania wałuKalkulator naprężeń i odkształceń osiowychKalkulator wyboczenia EuleraKalkulator koła MohraKalkulator momentu bezwładności (moment bezwładności przekroju)Kalkulator naprężenia zginającego (σ = My/I)Kalkulator rozszerzalności cieplnejKalkulator środka ciężkości (kształty złożone i wielokąty)

Powiązane przedmioty

Przygotowanie do egzaminu FE MechanicalProjektowanie maszynPrzygotowanie do egzaminu FE CivilMechanika budowliStatykaDynamikaTermodynamika 1Mechanika płynów
Ćwicz ten przedmiot za darmoĆwicz ten przedmiotNapisz egzamin próbny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.