Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne
σ = F/A
Odkształcenie
ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a
σ = E·ε
Wydłużenie
ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne
εT = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne
τ = T·r/J
Wał pełny
J = πd⁴/32
Wał drążony
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia
φ = TL/(GJ)
Moc
P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

  1. Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
  2. Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
  3. Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
  4. Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek
C = (σx + σy)/2
Promień
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Naprężenia główne
σ1,2 = C ± R
Kierunek główny
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Płaszczyzna ukośna
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metoda

  1. Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
  2. Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
  4. Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni
P = ?12500 mm400 mmØ25Ø30δ = 0,4 mm

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 25 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: miedź, średnica 30 mm, długość 400 mm, E = 120 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,4 mm.

odcinek 1: stal, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny
20 kN12600 mm500 mmØ40Ø50σ2​ = ?

Odcinek (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 600 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: aluminium, średnica 50 mm, długość 500 mm, E = 70 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 20 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ2 w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.Skręcanie wałówŚredni
T = 1000 N·md = 30 mmL = 1 mφ = ?

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Skręcanie wałówTrudny
Td = ?

Pełny wał ma przenosić 15 kW przy 1800 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 15 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
P1​ = 20 kNP2​ = 30 kNAB3 m0,5 m1,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający Mmax w belce.

L = 5 mP1 = 20 kN w 3 mP2 = 30 kN w 3,5 m
Mmax = kN·m
6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
40 kN40 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 0 m40 kN @ 12 m60 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
2003020018xwymiary w mm

Wyznacz moment bezwładności Ix przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
100201408xM = 20 kN·mwymiary w mm

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 20 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σgóra na górnej krawędzi.

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 140 mmM = 20 kN·m
σgóra = MPa
9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni
σx​ = 140τxy​ = −40MPa

W punkcie σₓ = 140 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θs z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σx = 140 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny
σx​ = 120σy​ = −30τxy​ = 10MPa

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa i τₓᵧ = 10 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σθ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 60° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σx = 120 MPaσy = −30 MPaτxy = 10 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Ugięcie belkiŚredni
w = 15 kN/mδL = 4 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Ugięcie belkiTrudny
w = 8 kN/mδL = 4 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 4 m20 × 60 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.Wyboczenie słupówTrudny
P = 115 kNL = 2,5 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 115 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 115 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)
d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 40,78 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706,9) = 4,716 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,4/9,809 × 10⁻⁶ = 40780 N = 40,78 kN

Odpowiedź

P = 40,78 kN
2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ2 = 4,036 MPa

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Sztywności

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

Udział odcinka 2

F2 = 20000·274889/693768 = 7925 N

Naprężenie

σ2 = 7925/1963 = 4,036 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ2 = 4,036 MPa
3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 9,006 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·79522) = 0,1572 rad
φ = 0,1572·180/π = 9,006°

Odpowiedź

φ = 9,006°
4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 17,55 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·79577/(π·75)) = 17,55 mm

Odpowiedź

d = 17,55 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mmax = 51 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣMA = 0: RB·5 = 20·3 + 30·3,5
RB = 165/5 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 33 = 17 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P1: M = RA·3 = 17·3 = 51 kN·m
pod P2: M = RB·1,5 = 33·1,5 = 49,5 kN·m

Największa wartość

Mmax = 51 kN·m (pod P1)

Odpowiedź

Mmax = 51 kN·m
6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 66,67 kN, R2 = 73,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = −80, MC = −26,67, MD = −93,33, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0

Odpowiedź

Punkt E: ME = −160 kN·m
7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: Ix = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: Af = 200·30 = 6000 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
środnik: Aw = 18·200 = 3600 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·215 + 3600·100)/9600 = 171,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·30³/12 + 6000·(215 − 171,9)² = 1,161 × 10⁷ mm⁴
środnik: 18·200³/12 + 3600·(100 − 171,9)² = 3,06 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,161 × 10⁷ + 3,06 × 10⁷ = 4,221 × 10⁷ mm⁴ = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ix = 42,21 × 10⁶ mm⁴
8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σgóra = 119,3 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
środnik: Aw = 8·140 = 1120 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·150 + 1120·70)/3120 = 121,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·20³/12 + 2000·(150 − 121,3)² = 1,716 × 10⁶ mm⁴
środnik: 8·140³/12 + 1120·(70 − 121,3)² = 4,775 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,716 × 10⁶ + 4,775 × 10⁶ = 6,491 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 160 − 121,3 = 38,72 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·38,72/6,491 × 10⁶ = 119,3 MPa

Odpowiedź

σgóra = 119,3 MPa
9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θs = −59,87 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

στxyCτmax​

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θs = −40/80,62 = −0,4961, sin 2θs = −70/80,62 = −0,8682
2θs = atan2(−70, −40) = −119,7°

Kąt na elemencie

θs = −59,87°
sprawdzenie: θs − θp = −59,87 − (−14,87) = −45°

Odpowiedź

θs = −59,87°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σθ = 16,16 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji

σθ = 45 + 75·−0,5 + 10·0,866 = 16,16 MPa

Odpowiedź

σθ = 16,16 MPa
11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 28,41 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 28,41 mm

Odpowiedź

δmax = 28,41 mm
12.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 12 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·4000⁴/(384·200000·11,11) = 1,2 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 12 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 12 × 10⁶ mm⁴
13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 4,935 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·4000 = 4000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/4000² = 4935 N = 4,935 kN

Odpowiedź

Pcr = 4,935 kN
14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 87,77 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 87,77 mm

Odpowiedź

d = 87,77 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 227,9, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials