Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 120 GPa). Oba mają długość 600 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 100 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 100 kNpręt: Ø30 mm, E = 200 GParura: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: brąz, średnica 60 mm, długość 500 mm, E = 110 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 20 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: brąz, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Drążony wał (aluminium) (średnica zewnętrzna 50 mm, wewnętrzna 35 mm, długość 0,8 m) jest utwierdzony na jednym końcu i skręcany momentem 2000 N·m na drugim. Wyznacz kąt skręcenia φ w stopniach.

T = 2000 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 75 kW przy 1000 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 80 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

35 kN @ 1 m40 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 40 kN w 1 mw = 12 kN/m od 0 do 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 180 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 70 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 12 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 180 mmh = 70 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 170 × 10 mm, środnik o wysokości 340 mm i grubości 10 mm oraz półkę dolną 240 × 22 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 170 × 10 mmśrodnik: 10 × 340 mmpółka dolna: 240 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 50 MPa i τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Wyznacz naprężenie zastępcze σ_vM według hipotezy Hubera-Misesa.

σ_x = 20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 5 kNa = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 125 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 125 mm

h_req = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 145 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 145 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,07074 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 100000·600/8,482 × 10⁸ = 0,07074 mm

Odpowiedź

δ = 0,07074 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 5,885 MPa

Sztywności

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 20000·622035/747699 = 16639 N

Naprężenie

σ₂ = 16639/2827 = 5,885 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 5,885 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 7,562 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Kąt skręcenia

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·800/(26000·466269) = 0,132 rad

φ = 0,132·180/π = 7,562°

Odpowiedź

φ = 7,562°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 35,72 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·80)) = 35,72 mm

Odpowiedź

d = 35,72 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 49,17 kN, R₂ = 25,83 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 49,17, M_C = 63,33, M_D = 77,5 kN·m, M_E = 51,67, M_F = 25,83, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 77,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 44 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 12·4·2

R_B = 136/4 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 88 − 34 = 54 kN

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 54·2 − 40·(2 − 1) − 12·2·1 = 44 kN·m

Odpowiedź

M_x = 44 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 1,453 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 180·12 = 2160 mm², y₁ = 6 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·12·58 = 1392 mm², y₂ = 12 + 58/2 = 41 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2160·6 + 1392·41)/3552 = 19,72 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 180·12³/12 + 2160·(6 − 19,72)² = 432291 mm⁴

dwa ramiona: 2·12·58³/12 + 1392·(41 − 19,72)² = 1,021 × 10⁶ mm⁴

I_x = 432291 + 1,021 × 10⁶

I_x = 1,453 × 10⁶ mm⁴ = 1,453 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 1,453 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 216,3 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 1700 mm², y = 367 mm

środnik: A = 3400 mm², y = 192 mm

półka dolna: A = 5280 mm², y = 11 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1700·367 + 3400·192 + 5280·11)/10380 = 128,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 170·10³/12 + 1700·238,4² = 9,664 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·340³/12 + 3400·63,41² = 4,642 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 240·22³/12 + 5280·117,6² = 7,322 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,664 × 10⁷ + 4,642 × 10⁷ + 7,322 × 10⁷

I_x = 2,163 × 10⁸ mm⁴ = 216,3 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 216,3 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −61,85 °

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = −40/72,11 = −0,5547, sin 2θ_s = −60/72,11 = −0,8321

2θ_s = atan2(−60, −40) = −123,7°

Kąt na elemencie

θ_s = −61,85°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −61,85 − (−16,85) = −45°

Odpowiedź

θ_s = −61,85°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_vM = 46,9 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 35 MPa, R = 18,03 MPa

σ₁ = 53,03 MPa, σ₂ = 16,97 MPa, σ₃ = 0

Huber-Mises

σ_vM = √(53,03² − 53,03·16,97 + 16,97²) = 46,9 MPa

Odpowiedź

σ_vM = 46,9 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 7,516 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 5000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 5000·1000²·5000²/(3·9,24 × 10¹¹·6000) = 7,516 mm

Odpowiedź

δ_P = 7,516 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 233,8 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,332 × 10⁸ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·1,332 × 10⁸/125)^1/3 = 233,8 mm

Odpowiedź

h_req = 233,8 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 40,04 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1400² = 40043 N = 40,04 kN

Odpowiedź

P_cr = 40,04 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 50,94 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50,94 mm

Odpowiedź

d = 50,94 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 117,8, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials