Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 600 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: miedź, średnica 40 mm, długość 400 mm, E = 120 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,2 mm.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 95 kNodcinek 1: Ø35 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 2 m, stal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) przenosi moc 75 kW przy 500 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 75 MPa, a kąt skręcenia 1° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 40 kN w 2,5 mw = 6 kN/m od 0 do 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 60 MPa przy rozciąganiu i 90 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa i τₓᵧ = −10 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = −30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −70 MPa, σᵧ = 110 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 35° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz wartość momentu zginającego M_A w utwierdzeniu.

L = 8 mP = 45 kN w 4 m

M_A = kN·m

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 5 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 5 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 16,39 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2,653 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,2/1,22 × 10⁻⁵ = 16391 N = 16,39 kN

Odpowiedź

P = 16,39 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 840 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 98,74 MPa

σ₂ = 840 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 840 MPa

Odpowiedź

σ_max = 840 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,6839 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·251327) = 0,01194 rad

φ = 0,01194·180/π = 0,6839°

Odpowiedź

φ = 0,6839°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 56,86 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75)) = 45,99 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·1,432 × 10⁶/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 56,86 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(45,99, 56,86) = 56,86 mm

Odpowiedź

d = 56,86 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 24,5 kN, R₂ = 24,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 22,5, M_C = 41, M_D = 55,5 kN·m, M_E = 41, M_F = 22,5, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 55,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 34 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2,5 + 6·4·2

R_B = 148/4 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 37 = 27 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 27·3 − 40·(3 − 2,5) − 6·3·1,5 = 34 kN·m

Odpowiedź

M_x = 34 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 38,03 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

środnik: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·255 + 2400·120)/6000 = 201 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·30³/12 + 3600·(255 − 201)² = 1,077 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·240³/12 + 2400·(120 − 201)² = 2,727 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,077 × 10⁷ + 2,727 × 10⁷ = 3,803 × 10⁷ mm⁴ = 38,03 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 38,03 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 6,424 kN·m

Środek ciężkości

ȳ = (3200·110 + 2000·50)/5200 = 86,92 mm

krawędź górna: c = 120 − 86,92 = 33,08 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 160·20³/12 + 3200·23,08² + 20·100³/12 + 2000·36,92² = 6,204 × 10⁶ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 60·6,204 × 10⁶/33,08 = 11,25 kN·m

krawędź dolna: M = 90·6,204 × 10⁶/86,92 = 6,424 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 6,424 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 6,424 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 18,09 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = −25 MPa, R = √((−5)² + (−10)²) = 11,18 MPa

σ₁ = −13,82 MPa, σ₂ = −36,18 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(22,36, 13,82, 36,18)/2 = 18,09 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 18,09 MPa

Tutaj decyduje koło spoza płaszczyzny: maksimum bezwzględne jest większe niż maksimum w płaszczyźnie R.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 36,2 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 20 + −90·0,342 + 50·0,9397 = 36,2 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 36,2 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 21,27 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·5,95 × 10¹¹) = 21,27 mm

Odpowiedź

δ = 21,27 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: M_A = 67,5 kN·m

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Moment w utwierdzeniu

Momenty obciążeń i reakcji podpory względem A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 180 − 112,5 = 67,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = 67,5 kN·m

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 4,998 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·3000 = 3000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4,998 kN

Odpowiedź

P_cr = 4,998 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 28,74 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 28,74 mm

Odpowiedź

d = 28,74 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 292,2, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials