Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 25 mm, długość 400 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: miedź, średnica 40 mm, długość 300 mm, E = 120 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,3 mm.

odcinek 1: stal, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 150 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: mosiądz, średnica zewnętrzna 80 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 100 GPa, naprężenie dopuszczalne 80 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MParura: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 50 kW przy 300 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,7 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 80 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 50 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 5 m od A. Wyznacz moment zginający M_A w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 70 kN w 5 mw = 10 kN/m od 0 do 5 m

M_A = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 30 kN w 7 mw = 6 kN/m od 0 do 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 100 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 60 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 140 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmśrodek otworu: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 96 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 240 mmwycięcie: 50 × 50 mmśrodek otworu: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −40 MPa, σᵧ = −80 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 40 mm przenosi osiową siłę ściskającą 130 kN wraz z momentem skręcającym 400 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 40 mmF = −130 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (stal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 8 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 65 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 65 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 49,47 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,3/6,064 × 10⁻⁶ = 49474 N = 49,47 kN

Odpowiedź

P = 49,47 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 271 kN

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·2199 = 3,613 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,00075, 0,0008) = 0,00075 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,00075·3,613 × 10⁸ = 270962 N = 271 kN

Odpowiedź

P_max = 271 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 1,494 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·38350) = 0,02608 rad

φ = 0,02608·180/π = 1,494°

Odpowiedź

φ = 1,494°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 51,09 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·80·0,7599)) = 51,09 mm

d_i = 0,7·51,09 = 35,76 mm

Odpowiedź

d_o = 51,09 mm

Wał pełny wymagałby d = 46,62 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_A = −475 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −70·5 = −350 kN·m

w: −10·5²/2 = −125 kN·m

M_A = −350 − 125 = −475 kN·m

Odpowiedź

M_A = −475 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 90 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·7 + 6·10·5

R_B = 510/10 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 51 = 39 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 39·3 − 6·3·1,5 = 90 kN·m

Odpowiedź

M_x = 90 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 60,76 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (20000·100 − 2827·140)/(20000 − 2827) = 93,41 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·200³/12 + 20000·6,586² = 67,53 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·60⁴/64 + 2827·46,59² = 6,772 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 60,76 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 60,76 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (28800·120 − 2500·96)/(28800 − 2500) = 122,3 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·240³/12 + 28800·−2,281² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·50³/12 + 2500·−26,28² = 2,248 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −16,85 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 30/36,06 = 0,8321, sin 2θ_s = −20/36,06 = −0,5547

2θ_s = atan2(−20, 30) = −33,69°

Kąt na elemencie

θ_s = −16,85°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −16,85 − 28,15 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −16,85°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 9,01 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = −130000/(π·40²/4) = −130000/1257 = −103,5 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = −51,73 MPa

R = √((−51,73)² + 31,83²) = 60,73 MPa

σ₁ = C + R = 9,01 MPa

σ₂ = C − R = −112,5 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 9,01 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 2,035 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 2,035 mm

Odpowiedź

δ = 2,035 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 5,415 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 8000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 8000·3000³/(48·1,61 × 10¹²) = 2,795 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 2,62 mm

Dodaj

δ_max = 2,795 + 2,62 = 5,415 mm

Odpowiedź

δ_max = 5,415 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 12,24 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2100² = 12239 N = 12,24 kN

Odpowiedź

P_cr = 12,24 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 139,9 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 139,9 mm

Odpowiedź

d = 139,9 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 285,9, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials