Ugięcie belki: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: linia ugięcia · strzałka ugięcia · ugięcie belek

Darmowe zadania z tematu Ugięcie belki z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: wspornik, siła na końcu, obciążenie równomierne, superpozycja i wymiarowanie.

Darmowe zadanieŁatwy
P = 3 kNδL = 1,5 m

Wspornik przenosi siłę skupioną P na swobodnym końcu. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 3 kNL = 1,5 mE = 200 GPa (stal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
mm
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Ugięcie belkiĆwicz teraz: Ugięcie belki5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwywspornik, siła na końcu
  2. Średniobciążenie równomierne
  3. Trudnysuperpozycja i wymiarowanie

Najważniejsze wzory

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Naucz się tematu Ugięcie belki od zera

Wcześniej: Siła tnąca i moment zginający, Środek ciężkości i moment bezwładności

1Czym jest ugięcie

Każda belka trochę się wygina pod obciążeniem. Odległość, o jaką punkt belki przesuwa się w dół, to jej ugięcie δ, zwykle w mm.

PδL

Belka może być wystarczająco wytrzymała i mimo to uginać się za bardzo. Podłogi sprawiają wtedy wrażenie sprężystych, tynk pęka, a drzwi się zacinają. Typowe ograniczenie dla stropów to rozpiętość/360: strop o rozpiętości 3,6 m może uginać się najwyżej o 10 mm.

Ugięcie belki zależy od czterech rzeczy:

  • obciążenia: dwa razy większe obciążenie daje dwa razy większe ugięcie;
  • rozpiętości: ugięcie rośnie bardzo szybko z długością (L³ lub L⁴);
  • modułu Younga E materiału: sztywniejszy materiał wygina się mniej;
  • momentu bezwładności przekroju I: wyższy przekrój wygina się mniej.

E i I zawsze występują razem jako iloczyn EI, czyli sztywność zginania belki.

Samosprawdzenie Zastępujesz belkę inną o dwukrotnie większym momencie bezwładności I. Wszystko inne pozostaje takie samo. Co dzieje się z ugięciem?
  1. Maleje o połowę
  2. Podwaja się
  3. Pozostaje taki sam
  4. Staje się czterokrotnie mniejsze

Odpowiedź: Maleje o połowę. Ugięcie jest odwrotnie proporcjonalne do EI. Podwojenie I zmniejsza δ o połowę.

2Wzory standardowe

Ugięcia otrzymuje się przez dwukrotne całkowanie momentu zginającego, ale dla typowych przypadków wynik jest stablicowany. Cztery przypadki obejmują większość pytań:

  • Wspornik, siła skupiona P na swobodnym końcu: δ = P·L³ / (3·E·I)
  • Wspornik, obciążenie ciągłe równomierne w na całej długości: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
  • Belka swobodnie podparta, siła skupiona P w połowie rozpiętości: δmax = P·L³ / (48·E·I)
  • Belka swobodnie podparta, obciążenie ciągłe równomierne w na całej rozpiętości: δmax = 5·w·L⁴ / (384·E·I)
PδL

Dla wspornika największe ugięcie występuje na swobodnym końcu; dla belki swobodnie podpartej przy obciążeniu symetrycznym w połowie rozpiętości.

Gdy belka niesie kilka obciążeń, ugięcia od każdego z osobna się sumują. To jest superpozycja.

Samosprawdzenie Wspornik z obciążeniem na końcu ma ugięcie końca 2 mm. Wspornik wydłużono dwukrotnie. Jakie jest nowe ugięcie?
  1. 16 mm
  2. 32 mm
  3. 4 mm
  4. 8 mm

Odpowiedź: 16 mm. δ jest proporcjonalne do L³, więc podwojenie L mnoży δ przez 2³ = 8: 2·8 = 16 mm. Wartość 4 mm traktuje zależność jako liniową; 32 mm używa L⁴, czyli przypadku obciążenia ciągłego.

3Jednostki: pracuj w N i mm

Wzory działają tylko przy spójnych jednostkach. Bezpiecznym wyborem są niutony i milimetry:

  • P w N: kN × 1000.
  • w w N/mm: 1 kN/m to dokładnie 1 N/mm.
  • L w mm: m × 1000.
  • E w N/mm²: GPa × 1000. Stal: 200 GPa = 200 000 N/mm².
  • I w mm⁴: „36 × 10⁶ mm⁴” oznacza 36 000 000 mm⁴.

Ugięcie wychodzi wtedy w mm. Ponieważ L podnosi się do trzeciej lub czwartej potęgi, liczby robią się duże. Kalkulator z potęgami dziesięciu pozwala nad nimi zapanować.

Samosprawdzenie Belka jest wykonana ze stali, E = 200 GPa. Której wartości E użyjesz z N i mm?
  1. 0,2 N/mm²
  2. 200 000 000 N/mm²
  3. 200 000 N/mm²
  4. 200 N/mm²

Odpowiedź: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm², więc 200 GPa = 200 000 N/mm². Użycie 200 sprawia, że ugięcie jest 1000 razy za duże.

4Metoda krok po kroku

  1. Rozpoznaj przypadek: wspornik czy belka swobodnie podparta, siła skupiona czy obciążenie ciągłe.
  2. Zamień P, w, L, E i I na N i mm.
  3. Wybierz pasujący wzór.
  4. Oblicz δ w mm.
  5. Dla kilku obciążeń: oblicz każde z osobna i dodaj.
  6. W zadaniu projektowym: przyrównaj δ do wartości dopuszczalnej (na przykład L/360) i rozwiąż względem I.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Stalowy wspornik (E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴) ma 3 m długości i niesie siłę skupioną 8 kN na swobodnym końcu. Wyznacz ugięcie na swobodnym końcu.

1

Rozpoznaj przypadek

P = 8 kNδL = 3 m

Wspornik z siłą skupioną na swobodnym końcu: δ = PL³/(3EI).

2

Zamień na N i mm

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

3

Sztywność zginania

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7,2 × 10¹² N·mm²
4

Ugięcie końca

L³ = 3000³ = 2,7 × 10¹⁰ mm³
δ = 8000 · 2,7 × 10¹⁰ / (3 · 7,2 × 10¹²) = 10 mm
5

Sprawdź wynik

10 mm na wsporniku 3 m to L/300. To realistyczna wartość dla obciążonej stalowej belki: ani ułamek milimetra, ani dziesiątki centymetrów.

Odpowiedź

Swobodny koniec ugina się o δ = 10 mm.

6Typowe błędy

  • Mieszanie jednostek: L w metrach z E w N/mm² daje bzdury. Najpierw zamień wszystko na N i mm.
  • Pozostawienie E w GPa, co sprawia, że δ jest 1000 razy za duże.
  • Użycie złego przypadku, na przykład PL³/(48EI) dla wspornika. Sprawdź podpory i rodzaj obciążenia.
  • Zapomnienie o 5 w 5wL⁴/(384EI).
  • W superpozycji użycie osobnego wzoru dla każdego obciążenia, ale pominięcie jednego z obciążeń.
Samosprawdzenie Belka swobodnie podparta niesie siłę skupioną w połowie rozpiętości, która sama daje 4 mm, i obciążenie ciągłe, które samo daje 6 mm. Jakie jest ugięcie w połowie rozpiętości?
  1. 10 mm
  2. 2 mm
  3. 24 mm
  4. 6 mm

Odpowiedź: 10 mm. Zgodnie z superpozycją ugięcia od każdego obciążenia się sumują: 4 + 6 = 10 mm. Wzięcie tylko większego, różnicy lub iloczynu daje błędne wyniki.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: wspornik z obciążeniem na końcu. Wyznacz δ = PL³/(3EI). Warianty: belka swobodnie podparta z siłą w środku, kąt obrotu końca lub obciążenie dające określone ugięcie.
  • Średnie: obciążenie równomierne. Wspornik (wL⁴/8EI) lub belka swobodnie podparta (5wL⁴/384EI). Warianty: obciążenia poza środkiem i kąty obrotu końców.
  • Trudne: superpozycja i projektowanie. Dodaj ugięcia od siły skupionej i obciążenia ciągłego albo wyznacz najmniejsze I, przy którym δ jest mniejsze niż L/360.

W przypadku projektowym: Ireq = 5wL⁴ / (384·E·δallow), przy δallow = L/360.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
P = 19 kNABδ2 m2 m

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. Wyznacz ugięcie w środku rozpiętości δmax.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

Oblicz δmax (mm)

Pokaż podpowiedzi
  1. Dla belki swobodnie podpartej z siłą skupioną w środku ugięcie w środku rozpiętości wynosi δ = PL³/(48EI).
  2. Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.
  3. EI = 2,4 × 10¹² N·mm².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Ugięcie w środku rozpiętości

δmax = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 10,56 mm

Odpowiedź

δmax = 10,56 mm
Przykład 2Średni
P = 26 kNABδ2 m4 m

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2 m od A. Wyznacz ugięcie δB swobodnego końca B.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

Oblicz δB (mm)

Pokaż podpowiedzi
  1. Odcinek między A a siłą zachowuje się jak wspornik o długości a z siłą na końcu: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
  2. Za siłą nie ma momentu, więc ten odcinek pozostaje prosty: δB = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
  3. a = 2000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie swobodnego końca

Ugięcie pod siłą plus kąt obrotu pod siłą razy pozostała długość.

δP = Pa³/(3EI) = 4,127 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003095 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,51 mm

Odpowiedź

δB = 16,51 mm
Przykład 3Trudny
w = 4 kN/mABδ3 m

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 100 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszą wysokość hreq przekroju.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 100 mm

Oblicz hreq (mm)

Pokaż podpowiedzi
  1. Przyrównaj ugięcie w środku rozpiętości 5wL⁴/(384EI) do wartości granicznej i wyznacz wymagane I.
  2. Następnie użyj I = bh³/12 dla prostokąta i wyznacz h.
  3. Ireq = 4,602 × 10⁷ mm⁴.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Wymagany moment bezwładności

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8,333) = 4,602 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,602 × 10⁷/100)1/3 = 176,8 mm

Odpowiedź

hreq = 176,8 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

Pytania i odpowiedzi

Ugięcie belki: co to jest?

Każda belka trochę się wygina pod obciążeniem. Odległość, o jaką punkt belki przesuwa się w dół, to jej ugięcie δ, zwykle w mm.

Belka może być wystarczająco wytrzymała i mimo to uginać się za bardzo. Podłogi sprawiają wtedy wrażenie sprężystych, tynk pęka, a drzwi się zacinają. Typowe ograniczenie dla stropów to rozpiętość/360: strop o rozpiętości 3,6 m może uginać się najwyżej o 10 mm.

Ugięcie belki: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Ugięcie belki: jakie błędy są najczęstsze?
  • PL³/(3EI) dotyczy wspornika z siłą na końcu. Belka swobodnie podparta z siłą w środku ugina się o PL³/(48EI).
  • Współczynnik 5/384 dotyczy obciążenia równomiernego (z wL⁴). Dla siły skupionej w środku użyj 1/48.
  • To ugięcie pod siłą. Za siłą belka jest prosta, ale nachylona, więc dodaj θ·(L − a).
Ugięcie belki: co ćwiczysz?
  • Łatwy: wspornik, siła na końcu
  • Średni: obciążenie równomierne
  • Trudny: superpozycja i wymiarowanie

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Siła tnąca i moment zginającyŚrodek ciężkości i moment bezwładności

Kalkulatory

Kalkulator ugięcia belki

Przedmioty z tym tematem

Wytrzymałość materiałówMechanika budowliPrzygotowanie do egzaminu FE MechanicalPrzygotowanie do egzaminu FE Civil

Więcej tematów: Budownictwo

Siła tnąca i moment zginającyKratownica: równoważenie węzłówŚrodek ciężkości i moment bezwładnościWyboczenie słupówNaprężenie efektywne w gruncieOsiadanie konsolidacyjneParcie hydrostatycznePrzepływ w kanałach otwartych (Manning)

Karta pracy do druku

Ugięcie belki: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Ugięcie belkiĆwicz teraz: Ugięcie belki5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.