Kratownica: równoważenie węzłów: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: kratownice · metoda Rittera · metoda równoważenia węzłów

Darmowe zadania z tematu Kratownica: równoważenie węzłów z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: symetryczna, niesymetryczna, obciążenie pionowe + poziome.

Darmowe zadanieŁatwy
ABCDEFGH15 kN25 kN4 × 3 m3 m

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Kratownica: równoważenie węzłówĆwicz teraz: Kratownica: równoważenie węzłów5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwysymetryczna
  2. Średniniesymetryczna
  3. Trudnyobciążenie pionowe + poziome

Jak rozwiązywać zadania: Kratownica: równoważenie węzłów

  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Typowe błędy

  • Rozpoczynanie od węzła z trzema niewiadomymi.
  • Zapominanie o składowych kątowych prętów ukośnych.
  • Zamiana rozciągania ze ściskaniem.

Najważniejsze wzory

Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Naucz się tematu Kratownica: równoważenie węzłów od zera

Wcześniej: Reakcje podpór belek

1Czym jest kratownica

Kratownica to konstrukcja z prostych prętów połączonych końcami tak, że tworzą trójkąty. Spotkasz ją w dachach, żurawiach, słupach i wielu mostach.

ACBPAy​Cy​

Pręty nazywamy prętami kratownicy, a punkty połączeń węzłami. W prostym modelu każdy węzeł jest przegubem, a obciążenia działają tylko w węzłach.

Wtedy każdy pręt jest rozciągany lub ściskany tylko wzdłuż własnej długości. Przenosi jedną siłę osiową:

  • rozciąganie: pręt jest ciągnięty i wydłuża się. Liczymy je jako dodatnie.
  • ściskanie: pręt jest naciskany i skraca się. Liczymy je jako ujemne.

Używa się trójkątów, ponieważ trójkąt nie może zmienić kształtu bez zmiany długości boku. Dzięki temu kratownica jest sztywna przy małym zużyciu materiału.

Samosprawdzenie Siła w pręcie wychodzi −12 kN. Co to oznacza?
  1. Obciążenie skierowane jest w górę
  2. Pręt jest rozciągany siłą 12 kN
  3. Pręt jest ściskany siłą 12 kN
  4. Pręt nie przenosi siły

Odpowiedź: Pręt jest ściskany siłą 12 kN. Gdy rozciąganie liczymy jako dodatnie, siła ujemna oznacza ściskanie: pręt jest naciskany i skraca się.

2Siły w węźle

Każdy węzeł jest w równowadze osobno. Dlatego w każdym węźle obowiązują dwa równania:

ΣFx = 0 ΣFy = 0

Dwa równania oznaczają, że w jednym węźle możesz znaleźć co najwyżej dwie niewiadome siły w prętach. Zawsze zaczynaj od węzła, w którym są tylko dwie niewiadome.

Każdą niewiadomą siłę w pręcie rysuj jako rozciąganie: strzałka skierowana od węzła, wzdłuż pręta. Jeśli wynik jest ujemny, pręt jest ściskany.

FAB​FAC​Ay​αA

Siła w pochyłym pręcie ma dwie składowe. Jeśli pręt tworzy kąt α z poziomem:

Fx = F · cos α Fy = F · sin α

Rzadko potrzebujesz samego kąta. Z poziomego rozstawu a pręta, jego wysokości h i długości ℓ = √(a² + h²): cos α = a/ℓ oraz sin α = h/ℓ.

Samosprawdzenie Pręt biegnie 4 m poziomo i 3 m pionowo, więc ma 5 m długości. Przenosi 10 kN. Ile wynosi składowa pionowa?
  1. 10 kN
  2. 6 kN
  3. 7,5 kN
  4. 8 kN

Odpowiedź: 6 kN. sin α = 3/5 = 0,6, więc Fy = 10·0,6 = 6 kN. Wynik 8 kN to składowa pozioma (cos α = 0,8).

3Metoda krok po kroku

  1. Znajdź reakcje podpór z całej kratownicy: ΣMA = 0 daje Cy, potem ΣFy = 0 daje Ay (a ΣFx = 0 daje Ax, jeśli jest obciążenie poziome).
  2. Wybierz węzeł z co najwyżej dwiema niewiadomymi siłami w prętach, zwykle węzeł podporowy.
  3. Narysuj węzeł ze wszystkimi niewiadomymi siłami w prętach jako rozciąganiem (od węzła).
  4. Zapisz ΣFy = 0. Jeśli tylko jeden pręt ma składową pionową, daje to jego siłę bezpośrednio.
  5. Zapisz ΣFx = 0 dla drugiej siły.
  6. Przejdź do następnego węzła, używając sił, które już znasz. Wynik ujemny oznacza ściskanie.

Metoda przekrojów (Rittera) jest alternatywą: przetnij potrzebne pręty i zapisz momenty względem punktu, w którym schodzą się pozostałe przecięte pręty.

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Kratownica ma rozpiętość 8 m i wysokość 3 m, a węzeł B leży nad środkiem rozpiętości. W B działa pionowe obciążenie 30 kN. Znajdź siły w prętach AB i AC.

1

Spójrz na kratownicę

ACB30 kN8 m3 m4 m

A to przegub, a C to podpora przesuwna. Każdy pochyły pręt ma poziomy rozstaw 4 m i wysokość 3 m, więc jego długość to √(4² + 3²) = 5 m.

2

Reakcje podpór

Kratownica i obciążenie są symetryczne, więc każda podpora przenosi połowę obciążenia:

Ay = Cy = 30 / 2 = 15 kN
3

Węzeł A: równowaga pionowa

FAB​FAC​15 kNαA

sin α = 3/5 = 0,6 i cos α = 4/5 = 0,8. W A tylko AB ma składową pionową.

15 + FAB · 0,6 = 0 ⇒ FAB = −25 kN

Ujemne, więc AB jest ściskany.

4

Węzeł A: równowaga pozioma

FAC + FAB · 0,8 = 0 ⇒ FAC = −(−25) · 0,8 = 20 kN

Dodatnie, więc AC jest rozciągany. Spina stopy kratownicy.

5

Sprawdź wynik

Z symetrii FBC = −25 kN także. W węźle B oba pręty naciskają w górę siłą 2 · 25 · 0,6 = 30 kN, co równoważy obciążenie 30 kN.

Odpowiedź

FAB = −25 kN (ściskanie) oraz FAC = 20 kN (rozciąganie).

5Typowe błędy

  • Zaczynanie od węzła z trzema niewiadomymi siłami. Dwa równania nie rozwiążą trzech niewiadomych.
  • Zamiana sin i cos. Sprawdź, który bok trójkąta jest pionowy.
  • Rysowanie niektórych niewiadomych jako ściskania, a innych jako rozciągania, a potem błędne czytanie znaków. Rysuj wszystkie jako rozciąganie.
  • Pominięcie reakcji podpory w węźle albo nadanie jej złego kierunku.
  • Pominięcie obciążenia poziomego w równaniu momentów dla reakcji.
Samosprawdzenie W podporze przesuwnej C reakcja wynosi Cy = 9 kN w górę. Pręt BC jest tam jedynym prętem ze składową pionową, przy sin γ = 0,6. Ile wynosi FBC?
  1. +15 kN (rozciąganie)
  2. −11,25 kN (ściskanie)
  3. −15 kN (ściskanie)
  4. −5,4 kN (ściskanie)

Odpowiedź: −15 kN (ściskanie). ΣFy = 0: 9 + FBC·0,6 = 0, więc FBC = −15 kN. Wynik +15 kN gubi znak; −5,4 mnoży przez sin γ zamiast dzielić; −11,25 używa cos γ = 0,8.

6Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: symetryczna. B leży nad środkiem rozpiętości, a obciążenie jest pionowe, jak w przykładzie. Reakcje to po połowie obciążenia.
  • Średnie: niesymetryczna. B nie leży nad środkiem rozpiętości, więc AB i BC mają różne kąty. Najpierw znajdź Cy z momentów względem A.
  • Trudne: obciążenie pionowe i poziome w B. Przegub A ma też reakcję poziomą. Węzeł C nadal jest najłatwiejszym początkiem, ponieważ podpora przesuwna daje tylko Cy.

Pytają o jedną siłę w pręcie: AB, BC lub AC. Podaj rozciąganie jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
ABBCACACB45 kN6 m3 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FAB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 3 m od Aobciążenie pionowe = 45 kN

Oblicz FAB (kN)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz reakcje podpór z równowagi całej kratownicy.
  2. W węźle A tylko pręt AB ma składową pionową. ΣFy = 0 od razu daje FAB.
  3. Ay = 22,5 kN.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Odpowiedź

FAB = −40,56 kN (ściskanie)
Przykład 2Średni
ABBCACACB45 kN6 m1 m2 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 45 kN

Oblicz FBC (kN)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz reakcje podpór z równowagi całej kratownicy.
  2. Przejdź do węzła C. Tam tylko BC ma składową pionową, więc zacznij od ΣFy = 0.
  3. Cy = 7,5 kN.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·1 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 7,5 = 37,5 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,3714 = −20,19 kN

Odpowiedź

FBC = −20,19 kN (ściskanie)
Przykład 3Trudny
ABBCACACB60 kN30 kN5 m1 m3 m

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę FBC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 5 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 60 kNobciążenie poziome = 30 kN ←

Oblicz FBC (kN)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz reakcje podpór z równowagi całej kratownicy.
  2. Przejdź do węzła C. Tam tylko BC ma składową pionową, więc zacznij od ΣFy = 0.
  3. Cy = −6 kN.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 − 30·3 → Cy = −6 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − −6 = 66 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−6/0,6 = 10 kN

Odpowiedź

FBC = 10 kN (rozciąganie)

Pytania i odpowiedzi

Kratownica: równoważenie węzłów: co to jest?

Pręty nazywamy prętami kratownicy, a punkty połączeń węzłami. W prostym modelu każdy węzeł jest przegubem, a obciążenia działają tylko w węzłach.

Wtedy każdy pręt jest rozciągany lub ściskany tylko wzdłuż własnej długości. Przenosi jedną siłę osiową:

Kratownica: równoważenie węzłów: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
  2. Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
  3. Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
  4. Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Kratownica: równoważenie węzłów: jakie błędy są najczęstsze?
  • Rozpoczynanie od węzła z trzema niewiadomymi.
  • Zapominanie o składowych kątowych prętów ukośnych.
  • Zamiana rozciągania ze ściskaniem.
Kratownica: równoważenie węzłów: co ćwiczysz?
  • Łatwy: symetryczna
  • Średni: niesymetryczna
  • Trudny: obciążenie pionowe + poziome

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Reakcje podpór belek

Potem przejdź do

Ramy i maszyny

Kalkulatory

Kalkulator kratownicy (metoda równoważenia węzłów)

Przedmioty z tym tematem

StatykaMechanika budowliPrzygotowanie do egzaminu FE Civil

Więcej tematów: Budownictwo

Siła tnąca i moment zginającyUgięcie belkiŚrodek ciężkości i moment bezwładnościWyboczenie słupówNaprężenie efektywne w gruncieOsiadanie konsolidacyjneParcie hydrostatycznePrzepływ w kanałach otwartych (Manning)

Karta pracy do druku

Kratownica: równoważenie węzłów: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Kratownica: równoważenie węzłówĆwicz teraz: Kratownica: równoważenie węzłów5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.