Ramy i maszyny: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Ramy i maszyny z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: pręty dwusiłowe i proste maszyny, siły w przegubach i mechanizmy dźwigniowe, ramy wieloprętowe.

Darmowe zadanieŁatwy
15 kN4 m1,2 m0,8 m0,8 mABCDEK

Pokazana rama A opiera się na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 4 m. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,8 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 15 kN. Wyznacz pionową reakcję By w podporze przesuwnej.

P = 15 kNAB = 4 modległość pozioma od A do K = 0,8 m
kN
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Ramy i maszynyĆwicz teraz: Ramy i maszyny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwypręty dwusiłowe i proste maszyny
  2. Średnisiły w przegubach i mechanizmy dźwigniowe
  3. Trudnyramy wieloprętowe

Jak rozwiązywać zadania: Ramy i maszyny

  1. Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
  2. Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
  3. Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
  4. Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Typowe błędy

  • Traktowanie pręta z obciążeniem między przegubami jak pręta dwusiłowego.
  • Przyjęcie dla siły w przegubie tego samego zwrotu na obu łączonych prętach.
  • Wstawienie do równania momentów całej siły ukośnej jako składowej pionowej.
  • Podanie tylko jednej składowej, gdy pytanie dotyczy wartości siły w przegubie.

Najważniejsze wzory

Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia

Naucz się tematu Ramy i maszyny od zera

Wcześniej: Reakcje podpór belek, Kratownica: równoważenie węzłów

1Czym są ramy i maszyny

W kratownicy każdy pręt jest prostą belką z przegubami na dwóch końcach i jest obciążony tylko w węzłach, więc jest po prostu rozciągany lub ściskany. Rama jest inna: co najmniej jeden pręt przenosi siły w trzech lub więcej punktach albo ma obciążenie między przegubami. Taki pręt również się zgina.

ABCDE8 kN

W tej ramie w kształcie litery A nogi AC i BC są prętami wielosiłowymi: każda jest obciążona w podporze, przy ściągu i w przegubie C. Ściąg DE jest zamocowany przegubowo na obu końcach i nie przenosi niczego pomiędzy nimi. Rama, która się porusza i zamienia siłę wejściową na wyjściową, jak szczypce, dźwignia czy zacisk, nazywa się maszyną.

Samosprawdzenie Który pręt ramy A jest prętem dwusiłowym?
  1. Każdy pręt, bo każdy ma dwa przeguby na końcach
  2. Noga AC, bo przenosi obciążenie
  3. Noga BC, bo opiera się na podporze przesuwnej
  4. Ściąg DE

Odpowiedź: Ściąg DE. DE ma siły tylko w dwóch przegubach, więc jego siła działa wzdłuż DE. Każda noga oprócz podpory i przegubu C przenosi też siłę ściągu w D lub E, więc działają na nią trzy siły, a nie dwie.

2Pręty dwusiłowe i siły w przegubach

Pręt obciążony tylko w dwóch przegubach to pręt dwusiłowy. Jego dwie siły są równe, przeciwnie skierowane i leżą na prostej przechodzącej przez przeguby. Wnosi więc jedną niewiadomą, wartość tej siły, zamiast dwóch składowych.

Tam, gdzie dwa pręty spotykają się w przegubie, sworzeń działa na jeden pręt siłą (Cx, Cy), a na drugi siłą przeciwną (−Cx, −Cy). Narysuj je w ten sposób, tymi samymi symbolami, na obu schematach swobodnych.

Każdy oddzielny pręt daje trzy równania: ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0. Momenty zapisz względem przegubu, w którym działają nieznane siły, aby obie jego składowe zniknęły.

3Metoda krok po kroku

  1. Narysuj całą ramę i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
  2. Zaznacz pręty dwusiłowe: ich siły działają wzdłuż prostej łączącej ich przeguby.
  3. Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt wielosiłowy osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach.
  4. Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0. Składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu: F = √(Fx² + Fy²).

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3 m. Przegub C znajduje się na wysokości 2,4 m, a ściąg DE jest 0,8 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 8 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu oraz siłę, z jaką sworzeń C działa na nogę BC.

1

Spójrz na ramę

ABCDE8 kN3 m0,8 m1,6 m

Ściąg DE jest prętem dwusiłowym, więc ciągnie poziomo obie nogi.

2

Cała rama

Obciążenie jest pośrodku, więc każda podpora przenosi połowę.

Ay = By = 8/2 = 4 kN, Ax = 0
3

Noga BC: momenty względem C

4 kNTCx​Cy​CEB

B leży 1,5 m na prawo od C, a ściąg jest 2,4 − 0,8 = 1,6 m poniżej C.

4·1,5 = T·1,6 ⇒ T = 3,75 kN
4

Noga BC: równowaga sił

Cx = T = 3,75 kN, Cy = −4 kN
C = √(3,75² + 4²) = 5,48 kN
5

Sprawdź wynik

Na nogę AC siła w przegubie działa przeciwnie: (−3,75; +4) kN. Przy Ay = 4 kN, sile ściągu +3,75 kN i obciążeniu −8 kN obie sumy sił są równe zeru.

Odpowiedź

T = 3,75 kN (rozciąganie) i C = 5,48 kN na nogę BC.

5Maszyny: szczypce, dźwignie i przeguby kolanowe

W maszynie narysuj jedną część i zapisz momenty względem jej osi obrotu. Siła w przegubie odpada, a siły wejściowa i wyjściowa się równoważą:

Fin·a = Fout·b

Szczypce z ręką 100 mm od sworznia i szczękami 25 mm od niego zwielokrotniają siłę o 100/25 = 4. Sworzeń przenosi wtedy obie siły: na jednej połówce mają ten sam zwrot po przeciwnych stronach sworznia, więc się sumują.

W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ. Każde ogniwo jest prętem dwusiłowym z siłą F/(2 sin θ), a siła docisku wynosi F/(2 tan θ). Im bardziej płaskie ogniwa, tym większa siła.

Samosprawdzenie Szczypce są ściskane siłą 50 N w odległości 100 mm od sworznia, a szczęki są 25 mm od sworznia. Ile wynosi siła chwytu?
  1. 12,5 N
  2. 200 N
  3. 250 N
  4. 50 N

Odpowiedź: 200 N. Momenty względem sworznia: 50·100 = Q·25, więc Q = 200 N. Odwrócenie stosunku daje 12,5 N, a 250 N to siła w sworzniu, czyli siła ręki plus siła chwytu.

6Typowe błędy

  • Traktowanie pręta z obciążeniem między przegubami jak pręta dwusiłowego.
  • Rysowanie siły w przegubie w tym samym kierunku na obu łączonych prętach.
  • Użycie całej siły ukośnej rozpórki jako jej składowej pionowej.
  • Podanie jednej składowej, gdy pytanie dotyczy wartości siły w przegubie.
Samosprawdzenie Rozpórka naciska na belkę siłą 10 kN pod kątem 30° do belki. Ile wynosi składowa prostopadła do belki?
  1. 10 kN
  2. 20 kN
  3. 5 kN
  4. 8,66 kN

Odpowiedź: 5 kN. Składowa prostopadła wynosi 10·sin 30° = 5 kN. 8,66 kN to składowa wzdłuż belki (cos 30°), a 10 kN to cała siła.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: pręty dwusiłowe i proste maszyny. Wyznaczasz siłę chwytu szczypiec lub siłę w sworzniu, siłę w rozpórce wspornika ściennego, siłę w ściągu lub reakcję podpory ramy A albo siłę wyjściową dźwigni kątowej.
  • Średnie: siły w przegubach i mechanizmy dźwigniowe. Wyznaczasz reakcję w sworzniu wspornika lub dźwigni kątowej, siłę w ściągu przy obciążeniu poza środkiem, siłę działania sworznia na nogę, siłę w pręcie ramy trójprzegubowej albo siłę docisku przegubu kolanowego.
  • Trudne: ramy wieloprętowe. Dodajesz obciążenie równomierne do wspornika, wyznaczasz siłę w linie lub reakcję w sworzniu wysięgnika z jego ciężarem własnym, siłę w sworzniu przy obciążeniu poza środkiem, reakcję podpory przy obciążeniu poziomym albo siłę potrzebną prasie z przegubem kolanowym.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
12 kN0,5 m1 m1,2 mABCD

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 1,2 m poniżej A. Na swobodnym końcu B wisi obciążenie 12 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz siłę FCD w rozpórce.

P = 12 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

Oblicz FCD (kN)

Pokaż podpowiedzi
  1. CD jest obciążony tylko w dwóch przegubach, więc jest prętem dwusiłowym: jego siła działa wzdłuż CD.
  2. Zapisz momenty względem A dla belki: moment mają tylko rozpórka i obciążenie.
  3. sin α = 1,2/√(0,5² + 1,2²) = 0,9231.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy

Rozpórka ma przeguby na obu końcach i nie ma obciążenia pomiędzy nimi.

tan α = 1,2/0,5, sin α = 0,9231

Momenty względem A dla belki

FCD·sin α·0,5 = 12·1,5
FCD = 18/(0,9231·0,5) = 39 kN

Odpowiedź

FCD = 39 kN

Rozpórka naciska belkę do góry: jest ściskana.

Przykład 2Średni
8 kN0,75 m1,25 m0,75 mABCD

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 0,75 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 8 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 8 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,75 m

Oblicz A (kN)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz siłę w rozpórce: momenty względem A dla belki.
  2. FCD = 30,17 kN, sin α = 0,7071, cos α = 0,7071.
  3. Potem ΣFx = 0 i ΣFy = 0 dla belki dają składowe w A.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

FCD = 8·2/(0,7071·0,75) = 30,17 kN

Składowe w A

Ax = FCD·cos α = 21,33 kN (w stronę ściany)
Ay = 8 − FCD·sin α = −13,33 kN

Długość

A = √(21,33² + −13,33²) = 25,16 kN

Odpowiedź

A = 25,16 kN

Ujemne Ay oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

Przykład 3Trudny
8 kN1 kN2 m1 mABC

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 1 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od końca B do punktu C na ścianie, 1 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 8 kN. Wyznacz siłę T w linie.

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

Oblicz T (kN)

Pokaż podpowiedzi
  1. Lina ciągnie wzdłuż BC. Zapisz momenty względem A dla wysięgnika.
  2. Składowa pionowa siły w linie T·sin β ma ramię AB; jej składowa pozioma przechodzi przez A.
  3. sin β = 1/√(2² + 1²) = 0,4472.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Kąt liny

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

Momenty względem A

T·0,4472·2 = 8·2 + 1·1
T = 19,01 kN

Odpowiedź

T = 19,01 kN

Pytania i odpowiedzi

Ramy i maszyny: co to jest?

W kratownicy każdy pręt jest prostą belką z przegubami na dwóch końcach i jest obciążony tylko w węzłach, więc jest po prostu rozciągany lub ściskany. Rama jest inna: co najmniej jeden pręt przenosi siły w trzech lub więcej punktach albo ma obciążenie między przegubami. Taki pręt również się zgina.

W tej ramie w kształcie litery A nogi AC i BC są prętami wielosiłowymi: każda jest obciążona w podporze, przy ściągu i w przegubie C. Ściąg DE jest zamocowany przegubowo na obu końcach i nie przenosi niczego pomiędzy nimi. Rama, która się porusza i zamienia siłę wejściową na wyjściową, jak szczypce, dźwignia czy zacisk, nazywa się maszyną.

Ramy i maszyny: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
  2. Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
  3. Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
  4. Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Ramy i maszyny: jakie błędy są najczęstsze?
  • Traktowanie pręta z obciążeniem między przegubami jak pręta dwusiłowego.
  • Przyjęcie dla siły w przegubie tego samego zwrotu na obu łączonych prętach.
  • Wstawienie do równania momentów całej siły ukośnej jako składowej pionowej.
  • Podanie tylko jednej składowej, gdy pytanie dotyczy wartości siły w przegubie.
Ramy i maszyny: co ćwiczysz?
  • Łatwy: pręty dwusiłowe i proste maszyny
  • Średni: siły w przegubach i mechanizmy dźwigniowe
  • Trudny: ramy wieloprętowe

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Reakcje podpór belekKratownica: równoważenie węzłów

Przedmioty z tym tematem

Statyka

Więcej tematów: Mechanika

Reakcje podpór belekNaprężenie i odkształcenie osioweSkręcanie wałówKoło Mohra i transformacja naprężeńRzut ukośnyPraca i energiaRuch obrotowy bryły sztywnejDrgania mechaniczneSilniki cieplne i chłodziarkiObiegi silników cieplnych gazowychCiągłość i BernoulliTarcie w rurach i straty wysokościPompy i moc pompPrzewodzenie ciepłaKoła i przekładnie zębate

Karta pracy do druku

Ramy i maszyny: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Ramy i maszynyĆwicz teraz: Ramy i maszyny5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.