Przewodzenie ciepła: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: prawo Fouriera · opór cieplny · współczynnik przenikania ciepła
Darmowe zadania z tematu Przewodzenie ciepła z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: ściana jednowarstwowa, ściana wielowarstwowa, ściana z konwekcją.
Darmowe zadanieŁatwy
Ściana (styropian) ma grubość 10 mm i pole 6 m². Jej powierzchnie mają temperatury 24 °C i -11 °C. Wyznacz strumień ciepła przewodzonego Q̇ przez ścianę.
k = 0,035 W/(m·K)L = 10 mmA = 6 m²T1 = 24 °CT2 = -11 °C
Ciepło zawsze płynie od gorącego do zimnego. W ciele stałym przemieszcza się przez przewodzenie: szybko drgające cząstki po ciepłej stronie przekazują energię sąsiadom.
W zimowy dzień ciepło ucieka z ogrzanego pokoju przez ściany w ten sposób. Ile go ucieka, zależy od różnicy temperatur, pola ściany, jej grubości i materiału.
Materiały bardzo się różnią. Współczynnik przewodzenia ciepłak, w W/(m·K), mówi, jak łatwo przechodzi przez nie ciepło:
Beton: około 1,4 W/(m·K). Cegła: około 0,72.
Drewno: około 0,17.
Wełna mineralna: około 0,04. Polistyren ekspandowany: około 0,035.
Niskie k oznacza dobry izolator. Dlatego domy mają warstwę wełny lub pianki wewnątrz ściany.
W tym temacie temperatury nie zmieniają się w czasie. Nazywa się to przewodzeniem ustalonym.
Samosprawdzenie Która ściana przepuszcza najmniej ciepła, jeśli wszystkie mają grubość 100 mm?
Beton (k = 1,4)
Cegła (k = 0,72)
Drewno (k = 0,17)
Wełna mineralna (k = 0,04)
Odpowiedź: Wełna mineralna (k = 0,04). Strumień ciepła jest proporcjonalny do k. Wełna mineralna ma zdecydowanie najniższy współczynnik przewodzenia, więc izoluje najlepiej.
2Prawo Fouriera i opór cieplny
Dla płaskiej ściany o grubości L i polu A, której powierzchnie mają temperatury T1 i T2, strumień ciepła w watach podaje prawo Fouriera:
Q̇ = k · A · (T1 − T2) / L
Temperatura maleje liniowo w głąb ściany. Gęstość strumienia ciepła to strumień na metr kwadratowy: q″ = Q̇ / A, w W/m².
Pomaga myśleć o ścianie jak o rezystorze, tak jak w obwodzie elektrycznym. Różnica temperatur napędza ciepło, a ściana mu się opiera:
Q̇ = ΔT / R R = L / (k · A)
Opór cieplny R wyraża się w K/W. Grubsza ściana lub mniejsze k daje większy opór i mniejsze straty ciepła. Różnica temperatur w °C ma tę samą wartość w K.
Samosprawdzenie Betonowa ściana (k = 1,4 W/(m·K)) ma grubość 200 mm i pole 10 m². Jej powierzchnie mają temperatury 20 °C i 0 °C. Ile wynosi strumień ciepła?
0,0007 W
1,4 W
140 W
1400 W
Odpowiedź: 1400 W. Q̇ = 1,4 · 10 · 20 / 0,2 = 1400 W. Użycie L = 200 (mm) daje 1,4 W, a pominięcie pola daje 140 W.
3Ściany wielowarstwowe
Rzeczywista ściana ma warstwy: cegłę, izolację, płytę gipsowo-kartonową. To samo ciepło przechodzi przez każdą warstwę po kolei, więc warstwy są oporami połączonymi szeregowo. Dodaj je:
Rtotal = R1 + R2 + … Q̇ = (Tin − Tout) / Rtotal
Każda warstwa przejmuje część całkowitego spadku temperatury proporcjonalną do swojego oporu: ΔT1 = Q̇ · R1. Warstwa izolacji przejmuje największy spadek.
Powietrze przy ścianie również stawia opór cieplny. Ten opór konwekcji wynosi R = 1/(h · A), gdzie h jest współczynnikiem przejmowania ciepła w W/(m²·K). Dodaj go szeregowo jak warstwę.
Współczynnik przenikania U opisuje całą ścianę, razem z warstwami powietrza, jako strumień ciepła na m² na kelwin:
U = 1 / (Rtotal · A) Q̇ = U · A · ΔT
4Metoda krok po kroku
Narysuj ścianę z jej warstwami. Zapisz każdą grubość w metrach i obok niej każde k.
Oblicz opór każdej warstwy: R = L/(k·A). Jeśli po którejś stronie jest powietrze, dodaj dla tej strony R = 1/(h·A).
Aby znaleźć temperaturę wewnątrz ściany, zacznij od znanej temperatury i odejmij Q̇ · R za każdą przekraczaną warstwę.
Dobre sprawdzenie: spadki temperatury na wszystkich warstwach muszą sumować się do całkowitej różnicy temperatur.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Ściana składa się z 200 mm cegły (k = 0,72 W/(m·K)) i 50 mm wełny mineralnej (k = 0,04 W/(m·K)) i ma pole 10 m². Zewnętrzne powierzchnie mają temperatury 20 °C i 0 °C. Wyznacz strumień ciepła przez ścianę i temperaturę na styku warstw.
1
Narysuj ścianę
Ciepło płynie ze strony 20 °C przez cegłę, potem przez wełnę, na stronę 0 °C.
2
Opór każdej warstwy
R1 = 0,200 / (0,72 · 10) = 0,0278 K/W
R2 = 0,050 / (0,04 · 10) = 0,125 K/W
Cienka warstwa wełny stawia znacznie większy opór niż gruba warstwa cegły.
3
Opór całkowity i strumień ciepła
Rtotal = 0,0278 + 0,125 = 0,1528 K/W
Q̇ = (20 − 0) / 0,1528 = 130,9 W
4
Temperatura na styku
Zacznij od ciepłej powierzchni i przejdź przez cegłę:
Ti = 20 − Q̇ · R1 = 20 − 130,9 · 0,0278 = 16,4 °C
5
Sprawdź wynik
Spadek na wełnie wynosi 130,9 · 0,125 = 16,4 K, od 16,4 °C do 0 °C. Oba spadki, 3,6 K + 16,4 K, sumują się do pełnych 20 K.
Odpowiedź
Q̇ ≈ 131 W, a na styku warstw jest Ti ≈ 16,4 °C.
6Typowe błędy
Pozostawienie grubości w mm. Wartości k są na metr, więc L musi być w metrach.
Uśrednianie wartości k dwóch warstw albo ich dodawanie. Zamiast tego dodaj opory L/(k·A).
Pominięcie pola: R = L/(k·A) dla całej ściany, R = L/k dla jednego metra kwadratowego.
Zaczynanie od złej strony przy wyznaczaniu temperatury na styku. Temperatura zawsze maleje w kierunku przepływu ciepła.
Pominięcie warstw powietrza (1/(h·A)), gdy podane są temperatury powietrza wewnątrz i na zewnątrz.
Samosprawdzenie Jeden metr kwadratowy ściany ma 100 mm wełny mineralnej (k = 0,04) i 100 mm cegły (k = 0,72). Powierzchnie różnią się o 20 K. Ile wynosi strumień ciepła?
152 W
38 W
7,6 W
8 W
Odpowiedź: 7,6 W. R = 0,1/0,04 + 0,1/0,72 = 2,5 + 0,139 = 2,64 K/W, więc Q̇ = 20/2,64 = 7,6 W. Uśrednienie k daje 38 W, a pominięcie cegły daje 8 W.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: pojedyncza ściana. Wyznacz strumień ciepła Q̇ lub gęstość strumienia ciepła q″ z prawa Fouriera.
Średnie: ściana złożona z dwóch warstw. Wyznacz strumień ciepła lub temperaturę Ti na styku warstw.
Trudne: ściana z konwekcją po obu stronach, między powietrzem w pomieszczeniu a powietrzem na zewnątrz. Wyznacz współczynnik U, straty ciepła lub temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni.
Aby znaleźć temperaturę wewnętrznej powierzchni, zacznij od powietrza w pomieszczeniu i przejdź tylko przez wewnętrzną warstwę powietrza: Ts = Troom − Q̇ / (hi · A).
Przykład: powyższa ściana przy h = 8 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz ma Rtotal = 0,0125 + 0,1528 + 0,004 = 0,1693 K/W, więc U = 1/(0,1693 · 10) = 0,59 W/(m²·K).
Ściana (drewno) ma grubość 150 mm i pole 6 m². Jej powierzchnie mają temperatury 20 °C i -9 °C. Wyznacz strumień ciepła przewodzonego Q̇ przez ścianę.
k = 0,17 W/(m·K)L = 150 mmA = 6 m²T1 = 20 °CT2 = -9 °C
Oblicz Q̇(W)
Pokaż podpowiedzi
Prawo Fouriera dla ściany płaskiej: Q̇ = k·A·ΔT/L.
Przelicz grubość na metry, aby jednostki k się zgadzały.
ΔT = 29 K.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Prawo Fouriera
ΔT = 20 − (-9) = 29 K
Q̇ = kAΔT/L = 0,17·6·29/(150/1000) = 197,2 W
Odpowiedź
Q̇ = 197,2 W
Przykład 2Średni
Ściana składa się z 50 mm (wełna mineralna) i 50 mm (drewno), a jej pole wynosi 12 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 25 °C i 5 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 5 °C
Oblicz Ti(°C)
Pokaż podpowiedzi
Każda warstwa to opór cieplny R = L/(kA). Szeregowo opory się sumują.
Przez obie warstwy płynie ten sam Q̇, więc Ti = T₁ − Q̇·R₁.
R1 + R2 = 0,1287 K/W.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,1287 = 155,4 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 155,4·0,1042 = 8,81 °C
Odpowiedź
Ti = 8,81 °C
Przykład 3Trudny
Ściana z 100 mm (wełna mineralna) i 25 mm (płyta gipsowo-kartonowa) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -7 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 8 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Oblicz U(W/(m²·K))
Pokaż podpowiedzi
Dodaj cztery opory szeregowo: konwekcję wewnętrzną, dwie warstwy przewodzące i konwekcję zewnętrzną.
U to strumień ciepła na jednostkę pola i stopień: U = 1/(A·ΣR).
ΣR = 0,358 K/W.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,358 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,358) = 0,3492 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,3492 W/(m²·K)
Pytania i odpowiedzi
Przewodzenie ciepła: co to jest?
Ciepło zawsze płynie od gorącego do zimnego. W ciele stałym przemieszcza się przez przewodzenie: szybko drgające cząstki po ciepłej stronie przekazują energię sąsiadom.
W zimowy dzień ciepło ucieka z ogrzanego pokoju przez ściany w ten sposób. Ile go ucieka, zależy od różnicy temperatur, pola ściany, jej grubości i materiału.
Przewodzenie ciepła: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Przewodzenie ciepła: co ćwiczysz?
Łatwy: ściana jednowarstwowa
Średni: ściana wielowarstwowa
Trudny: ściana z konwekcją
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.