Ruch obrotowy bryły sztywnej: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

1Czym jest obrót bryły sztywnej

Bryła sztywna to przedmiot zachowujący kształt: koło zamachowe, kołowrót, drzwi albo toczące się koło. W tym temacie bryła obraca się wokół osi.

Każdy punkt bryły obraca się o ten sam kąt w tym samym czasie. Ruch opisujesz więc wielkościami kątowymi zamiast odległości:

• θ: kąt obrotu, w radianach (rad). Jeden obrót to 2π rad.
• ω: prędkość kątowa, w rad/s.
• α: przyspieszenie kątowe, w rad/s².

Maszyny podają prędkości w obrotach na minutę (obr/min). Zamień je przed obliczeniami:

Punkt w odległości r od osi porusza się z prędkością v = ω·r i ma przyspieszenie a = α·r wzdłuż toru.

Wszystko, co wiesz o ruchu prostoliniowym, ma obrotowego bliźniaka: siła staje się momentem, masa momentem bezwładności, a ΣF = m·a staje się ΣM = I·α.

2Moment bezwładności

Masa mówi, jak trudno przyspieszyć ciało w ruchu prostoliniowym. Masowy moment bezwładności I mówi, jak trudno wprawić je w obrót.

Masa daleko od osi liczy się dużo bardziej niż masa blisko niej, ponieważ liczy się z kwadratem swojej odległości:

Nie musisz sam sumować kawałków. Naucz się tych standardowych wyników względem środka masy G:

• Cienki pręt o długości L, oś przez środek: m·L²/12.
• Pełny dysk lub walec o promieniu R: ½·m·R².
• Cienki pierścień lub obręcz: m·R².
• Pełna kula: (2/5)·m·R². Kula pusta: (2/3)·m·R².
• Masa punktowa w odległości r: m·r².

Gdy oś O nie przechodzi przez G, użyj twierdzenia Steinera (o osiach równoległych). Tu d to odległość między O i G:

Pręt obracający się wokół końca ma d = L/2, więc I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.

Niektóre zadania podają promień bezwładności k zamiast kształtu. Wtedy I = m·k². Dla ciała złożonego z części znajdź I każdej części względem tej samej osi i dodaj.

3Momenty, energia i moment pędu

Trzy narzędzia rozwiązują prawie każde zadanie o obrocie. Wybierz to, które pasuje do pytania.

1. Momenty. Suma momentów względem osi równa się I·α. Użyj jej dla przyspieszeń i sił.

Przy stałym momencie obrotowym ruch kątowy ma stałe α, a równania kinematyki mają obrotowych bliźniaków: ω = ω₀ + α·t i ω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. Energia. Wirujące ciało magazynuje energię kinetyczną. Moment T obracający o kąt θ wykonuje pracę, a moc obracającego się wału to moment razy prędkość kątowa:

Ciało, które toczy się bez poślizgu, jednocześnie się porusza i obraca, z v = ω·r. Ma oba rodzaje energii kinetycznej:

Liczba c zależy tylko od kształtu: 0,4 dla pełnej kuli, 0,5 dla pełnego walca, 2/3 dla kuli pustej i 1 dla obręczy. Na pochylni a = g·sin θ / (1 + c).

3. Moment pędu. L = I·ω. Gdy względem osi nie działa moment zewnętrzny, L pozostaje takie samo, nawet gdy ciała się sklejają i energia kinetyczna jest tracona:

4Metoda krok po kroku

1. Narysuj ciało i wybierz oś: stały punkt obrotu lub wał albo środek dla ciała toczącego się.
2. Znajdź moment bezwładności względem tej osi. Użyj standardowych wyników i dodaj m·d², gdy oś jest przesunięta.
3. Zamień każdą prędkość w obr/min na rad/s wzorem ω = 2π·n/60.
4. Wybierz narzędzie. Przyspieszenia i siły: ΣM = I·α (z ΣF = m·a dla części poruszających się po linii prostej). Prędkości po przebyciu odległości lub kąta: energia. Uderzenia, nagłe chwyty i ciała, które przyciągają swoją masę: moment pędu.
5. Połącz ruch prostoliniowy i obrotowy tam, gdzie łączy je linka lub styk toczny: v = ω·r i a = α·r.
6. Rozwiąż i sprawdź wynik drugim narzędziem, jeśli możesz.

Dla ciała wiszącego na lince przerzuconej przez kołowrót narysuj dwa schematy sił: jeden dla klocka (siły) i jeden dla kołowrotu (momenty). Naciąg linki występuje w obu.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

6Typowe błędy

• Pozostawienie prędkości w obr/min w ω, E = ½·I·ω² lub P = T·ω. Najpierw zamień na rad/s.
• Użycie momentu bezwładności względem środka dla ciała obracającego się wokół końca. Dodaj m·d².
• Pominięcie energii kinetycznej ruchu obrotowego ciała toczącego się lub bloczka.
• Traktowanie kuli lub dysku na końcu pręta jak masy punktowej. Dodaj też jego własne I względem środka.
• Zakładanie, że energia kinetyczna jest zachowana, gdy ciała się chwytają lub sklejają. Użyj zamiast tego momentu pędu.
• Liczenie obrotów w radianach: N = θ/(2π).

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

• Łatwe: moment bezwładności. Pręt względem przesuniętej osi, wahadło z pręta i kuli lub dysku, energia kinetyczna koła zamachowego albo moment lub czas potrzebny do rozkręcenia koła zamachowego.
• Średnie: ΣM = I·α, praca i moc. Pręt puszczony z poziomu, klocek na kołowrocie, liczba obrotów hamowanego koła zamachowego, moment lub moc wału albo prędkość wahającego się pręta.
• Trudne: toczenie i moment pędu. Kula, walec lub obręcz staczające się po pochylni, tarcie potrzebne do toczenia, udział energii obrotowej, pierścień upuszczony na wirujący dysk, osoba przyciągająca hantle albo pocisk uderzający w wiszący pręt.

Dla hamowanego koła zamachowego hamulec wykonuje pracę równą zmagazynowanej energii: T·θ = ½·I·ω². Podziel θ przez 2π, aby dostać liczbę obrotów.

Pręt zamocowany przegubowo na jednym końcu i puszczony z poziomu ma tuż po puszczeniu α = 3·g/(2·L). Jego wolny koniec przyspiesza z 1,5·g.

Dla pocisku, który utyka w pręcie, moment pędu względem punktu obrotu jest zachowany: m·v·d = (I_rod + m·d²)·ω.