Darmowe zadania z tematu Ciągłość i Bernoulli z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: ciągłość, zwężka pozioma, rura wznosząca.
Darmowe zadanieŁatwy
Woda płynie z prędkością 0,75 m/s przez szeroki odcinek rury o średnicy 75 mm. Wyznacz objętościowe natężenie przepływu Q.
Przyłóż kciuk do końca węża ogrodowego, a woda wytryśnie szybciej. Ta sama ilość wody musi przepłynąć przez mniejszy otwór, więc musi poruszać się szybciej.
To właśnie ciągłość strumienia: w pełnej rurze woda nie może się spiętrzać ani znikać. To, co wpływa w każdej sekundzie, musi też wypłynąć w każdej sekundzie.
Druga idea, równanie Bernoulliego, łączy prędkość, ciśnienie i wysokość. Tam, gdzie woda przyspiesza, jej ciśnienie spada. Tam, gdzie się wznosi, jej ciśnienie również spada.
Razem te dwie idee pozwalają przewidzieć prędkość i ciśnienie w dowolnym miejscu rury. W tym temacie płyn jest nieściśliwy (jak woda), a straty na tarcie pomijamy.
Samosprawdzenie Woda płynie rurą, która się zwęża. Co dzieje się z jej prędkością w wąskiej części?
Maleje
Pozostaje taki sam
Woda się zatrzymuje
Wzrasta
Odpowiedź: Wzrasta. Taka sama objętość na sekundę musi przejść przez mniejsze pole, więc woda musi poruszać się szybciej.
2Natężenie przepływu i ciągłość
Objętościowe natężenie przepływuQ to objętość płynu przepływającego w ciągu sekundy, w m³/s. Jeden litr na sekundę (L/s) to 0,001 m³/s.
Dla płynu poruszającego się ze średnią prędkością v przez przekrój o polu A:
Q = A · v A = π · d² / 4
Masowe natężenie przepływu to ṁ = ρ · Q, w kg/s, gdzie ρ jest gęstością (1000 kg/m³ dla wody).
Ciągłość strumienia mówi, że Q jest takie samo w każdym przekroju rury:
A1 · v1 = A2 · v2
Dla rur okrągłych π/4 się skraca, więc v2 = v1 · (d1 / d2)². Zmniejszenie średnicy o połowę sprawia, że woda płynie cztery razy szybciej.
Samosprawdzenie Rura zwęża się z 80 mm do 40 mm. W szerokiej części woda płynie z prędkością 1 m/s. Jak szybko płynie w wąskiej części?
0,25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s
Odpowiedź: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. Pole zależy od kwadratu średnicy. Użycie stosunku średnic bez podnoszenia do kwadratu daje 2 m/s.
3Równanie Bernoulliego
Wzdłuż linii prądu bez strat energia na metr sześcienny płynu pozostaje taka sama. Składa się z trzech części: ciśnienia, ruchu i wysokości.
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
p: ciśnienie, w Pa.
½ρv²: energia kinetyczna na m³, również w Pa.
ρgz: energia położenia na m³, gdzie z jest wysokością nad dowolnie wybranym poziomem odniesienia.
Jeśli więc jedna część rośnie, inna musi maleć. Szybsza woda ma niższe ciśnienie. Wyżej położona woda ma niższe ciśnienie.
Użytecznym przypadkiem szczególnym jest zbiornik opróżniający się przez mały otwór na głębokości h pod otwartą powierzchnią. Powierzchnia prawie się nie porusza, a oba punkty są pod ciśnieniem atmosferycznym, co daje wzór Torricellego:
v = √(2gh)
Samosprawdzenie Otwarty zbiornik z wodą opróżnia się przez mały otwór 5 m poniżej powierzchni wody. Pomijając straty, jak szybko wypływa strumień z otworu? (g = 9,81 m/s²)
49,1 m/s
7,00 m/s
9,90 m/s
98,1 m/s
Odpowiedź: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Pominięcie 2 daje 7,00 m/s, a pominięcie pierwiastka daje 98,1.
4Metoda krok po kroku
Naszkicuj rurę i ponumeruj dwa przekroje: 1 tam, gdzie wiesz najwięcej, 2 tam, gdzie jest niewiadoma.
Zamień jednostki: mm na m, kPa na Pa, L/s na m³/s.
Oblicz pola A = π·d²/4 i użyj ciągłości strumienia, aby znaleźć brakującą prędkość.
Zapisz równanie Bernoulliego między przekrojami 1 i 2. Dla rury poziomej z1 = z2, więc wyrazy z wysokością się skracają.
Rozwiąż dla niewiadomej, a w razie potrzeby zamień z powrotem na kPa.
Zachowuj spójne jednostki. Przy ρ w kg/m³ i v w m/s wyraz ½ρv² wychodzi w Pa, a nie w kPa.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie poziomą rurą, która zwęża się ze 100 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 200 kPa, a prędkość 1,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie w wąskim odcinku.
1
Narysuj rurę
Przekrój 1 to część szeroka, w której wszystko jest znane. Przekrój 2 to część wąska.
2
Prędkość w wąskiej części
Średnica zmniejsza się o połowę, więc prędkość rośnie (100/50)² = 4 razy:
v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3
Zapisz równanie Bernoulliego
Rura jest pozioma, więc wyrazy z wysokością się skracają:
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4
Podstaw w paskalach
½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5
Sprawdź wynik
Woda w wąskiej części płynie szybciej, więc jej ciśnienie musi być niższe. 183,1 kPa jest mniej niż 200 kPa, zgodnie z oczekiwaniem.
Natężenie przepływu wynosi Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s w obu przekrojach.
Odpowiedź
p2 ≈ 183,1 kPa w wąskim odcinku (v2 = 6 m/s).
6Typowe błędy
Użycie stosunku średnic zamiast stosunku pól: prędkości zmieniają się z kwadratem średnicy.
Użycie promienia tak, jakby był średnicą, w A = π·d²/4, albo pominięcie /4.
Mieszanie kPa i Pa. W równaniu Bernoulliego pracuj w Pa, a na końcu zamień jednostki.
Podanie m³/s jako L/s. Aby otrzymać L/s, pomnóż m³/s przez 1000.
Pominięcie wyrazu z wysokością ρ·g·Δz, gdy rura wznosi się lub opada.
Samosprawdzenie Woda płynie z prędkością 2 m/s w rurze o średnicy wewnętrznej 100 mm. Jakie jest objętościowe natężenie przepływu?
0,0157 L/s
15,7 L/s
20 L/s
62,8 L/s
Odpowiedź: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², więc Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Pominięcie /4 daje 62,8, a pominięcie π/4 daje 20.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: ciągłość strumienia. Wyznacz natężenie przepływu, masowe natężenie przepływu, prędkość w węższym przekroju lub średnicę rury potrzebną dla danego przepływu. W niektórych pytaniach używa się wzoru Torricellego dla opróżniającego się zbiornika.
Średnie: pozioma redukcja rury. Wyznacz ciśnienie w jednym przekroju na podstawie drugiego. Warianty używają zwężki Venturiego, rurki Pitota (v = √(2Δp/ρ)) lub kryzy ze współczynnikiem wypływu.
Trudne: rura wznosząca się. Liczy się wyraz z wysokością: każdy metr wzniesienia obniża ciśnienie o ρ·g·1 = 9,81 kPa dla wody. Warianty obejmują lewar, zbiornik ciśnieniowy i fontannę.
W powyższym przykładzie wzniesienie o 5 m między przekrojami obniżyłoby p2 jeszcze o 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa, do 134,1 kPa.
Woda płynie przez rurę, której średnica zwęża się z 100 mm do 50 mm. Prędkość w szerokim odcinku wynosi 2,75 m/s. Wyznacz prędkość v2 w wąskim odcinku.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s
Oblicz v2(m/s)
Pokaż podpowiedzi
Przez każdy przekrój co sekundę przepływa ta sama objętość wody: Q = A·v.
A₁v₁ = A₂v₂, a pole rośnie z d², więc v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
A1 = 0,007854 m².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość
Natężenie przepływu jest takie samo w obu przekrojach.
A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s
Odpowiedź
v2 = 11 m/s
Przykład 2Średni
Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 250 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 190 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 25 mm, położony 4 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².
Równanie Bernoulliego od powierzchni wody (nadciśnienie p, w spoczynku) do strumienia (ciśnienie atmosferyczne).
p/ρ + gh = ½v², więc v = √(2(p/ρ + gh)) przy p w Pa.
p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia
Przyłóż kciuk do końca węża ogrodowego, a woda wytryśnie szybciej. Ta sama ilość wody musi przepłynąć przez mniejszy otwór, więc musi poruszać się szybciej.
To właśnie ciągłość strumienia: w pełnej rurze woda nie może się spiętrzać ani znikać. To, co wpływa w każdej sekundzie, musi też wypłynąć w każdej sekundzie.
Ciągłość i Bernoulli: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli: jakie błędy są najczęstsze?
Ciśnienie powietrza też wypycha wodę: uwzględnij p/ρ w równaniu Bernoulliego.
Wysokość słupa wody też zwiększa prędkość: v = √(2(p/ρ + gh)).
Ciągłość i Bernoulli: co ćwiczysz?
Łatwy: ciągłość
Średni: zwężka pozioma
Trudny: rura wznosząca
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.