Darmowe zadania z tematu Skręcanie wałów z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: naprężenie styczne, kąt skręcenia, przenoszenie mocy.
Darmowe zadanieŁatwy
Pełny wał okrągły przenosi moment skręcający T. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τmax w wale.
Wał to obracający się pręt, który przenosi moment obrotowy: wał napędowy samochodu, wrzeciono wiertarki, oś pompy.
Ten moment obrotowy to moment skręcający T. Jest to siła razy ramię, na którym działa, w N·m. Nacisk 200 N na końcu klucza o długości 0,5 m daje T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Wał obciążony momentem jest poddany skręcaniu. Skręca się nieznacznie, a jego materiał przenosi naprężenie styczne τ (tau): sąsiednie przekroje wału próbują przesuwać się względem siebie.
W projektowaniu liczą się dwa pytania: czy naprężenie styczne jest dostatecznie małe (wytrzymałość) i czy skręcenie jest dostatecznie małe (sztywność)?
Samosprawdzenie Naciskasz 200 N na końcu klucza o długości 0,5 m, pod kątem prostym. Jaki moment przykładasz?
100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m
Odpowiedź: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Dzielenie przez 0,5 daje 400; pominięcie ramienia daje 200.
2Naprężenie styczne i biegunowy moment bezwładności
Środek wału prawie się nie odkształca. Im dalej punkt leży od środka, tym bardziej jest ścinany. Naprężenie styczne rośnie więc liniowo z promieniem, od zera w środku do maksimum na powierzchni.
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J
Tutaj ρ (rho) to odległość od środka, r = d/2 to promień zewnętrzny, a J to biegunowy moment bezwładności pola. J mierzy, jak dobrze przekrój opiera się skręcaniu:
Dla wału pełnego o średnicy d oraz dla wału drążonego o średnicy zewnętrznej do i wewnętrznej di:
J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32
Dla wału pełnego oba wzory łączą się w jeden krótki:
τmax = 16 · T / (π · d³)
Pracuj w N·mm i mm, aby naprężenie wyszło w N/mm² = MPa. 1 N·m = 1000 N·mm.
Samosprawdzenie W wale pełnym τmax = 60 MPa. Jakie jest naprężenie styczne w połowie drogi między środkiem a powierzchnią?
0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa
Odpowiedź: 30 MPa. Naprężenie rośnie liniowo z ρ, więc przy ρ = r/2 wynosi połowę τmax: 30 MPa. Nie jest takie samo wszędzie i zero ma tylko w środku.
3Kąt skręcenia i moc
Wolny koniec wału obraca się o kąt skręcenia φ (fi). Dłuższy lub cieńszy wał skręca się bardziej; sztywniejszy materiał skręca się mniej:
φ = T · L / (G · J)
G to moduł sprężystości poprzecznej materiału: około 80 GPa dla stali i 26 GPa dla aluminium. Wzór daje φ w radianach. Pomnóż przez 180/π, aby uzyskać stopnie.
Wały często przenoszą moc z silnika. Moc to moment razy prędkość kątowa, przy czym prędkość w obr/min trzeba najpierw zamienić na rad/s:
P = T · ω ω = 2π · N / 60
Zadanie podające kW i obr/min zaczyna się więc od T = P/ω, gdzie P jest w watach.
Samosprawdzenie Wał obraca się z prędkością ω = 100 rad/s i przenosi 5 kW. Jaki moment przenosi?
0,05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m
Odpowiedź: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. Wynik 0,05 powstaje przy użyciu 5 zamiast 5000 W; 20 dzieli ω przez P.
4Metoda krok po kroku
Jeśli podano moc i prędkość, najpierw znajdź moment: ω = 2πN/60, a potem T = P/ω.
Przelicz na N i mm: T w N·mm (N·m × 1000), L w mm, G w MPa (GPa × 1000).
Znajdź J: π·d⁴/32 dla wału pełnego, π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego.
Naprężenie styczne: τmax = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Skręcenie: φ = TL/(GJ) w radianach, a potem × 180/π, jeśli pytają o stopnie.
W zadaniu projektowym (znajdź d) zapisz τmax = 16T/(πd³) równe dopuszczalnemu naprężeniu i wyznacz d.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Pełny stalowy wał (G = 80 GPa) o średnicy 40 mm i długości 1 m jest zamocowany na jednym końcu. Na wolnym końcu działa moment 500 N·m. Znajdź τmax i kąt skręcenia φ w stopniach.
1
Spójrz na wał i przelicz jednostki
T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.
2
Biegunowy moment bezwładności
J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3
Maksymalne naprężenie styczne
τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa
Krótki wzór daje to samo: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.
Nieco poniżej półtora stopnia na metr stalowego wału to rozsądna wartość.
Odpowiedź
τmax = 39,8 MPa oraz φ = 1,42°.
6Typowe błędy
Użycie średnicy zamiast promienia w τ = T·r/J. To podwaja naprężenie.
Zapomnienie o zamianie N·m na N·mm, przez co naprężenie jest 1000 razy za małe.
Użycie obr/min wprost w P = T·ω. Najpierw zamień na rad/s wzorem ω = 2πN/60.
Podanie φ w radianach, gdy pytano o stopnie, albo odwrotnie.
Dla wału drążonego: odjęcie średnic przed podniesieniem do czwartej potęgi. Użyj do⁴ − di⁴.
Samosprawdzenie Wał drążony o średnicy zewnętrznej 40 mm ma J = 200 000 mm⁴. Przenosi T = 1000 N·m. Ile wynosi τmax?
0,1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa
Odpowiedź: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. Użycie r = 40 mm (średnicy) daje 200 MPa; pozostawienie T w N·m daje 0,1 MPa; pominięcie r daje 5.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: naprężenie styczne. Wał pełny o średnicy d przenosi T; znajdź τmax. Warianty pytają o naprężenie na danym promieniu albo o dopuszczalny moment.
Średnie: kąt skręcenia. Dostajesz też L i G; znajdź φ w stopniach. Warianty używają wału drążonego lub stopniowanego.
Trudne: przenoszenie mocy. Podano moc w kW i prędkość w obr/min; znajdź moment, a potem τmax w wale drążonym albo najmniejszą średnicę dla dopuszczalnego naprężenia.
Zanim zrobisz cokolwiek innego, zapisz moment w N·mm obok zadania. Jest to liczba, której używa każdy kolejny krok.
Pełny wał o średnicy 40 mm przenosi moment skręcający 750 N·m. Wyznacz naprężenie styczne τρ w odległości 15 mm od środka.
T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm
Oblicz τρ(MPa)
Pokaż podpowiedzi
Naprężenie styczne w wale okrągłym jest proporcjonalne do odległości od środka: τ = T·ρ/J.
Używaj wszędzie N i mm: T w N·mm, L w mm, G w MPa (GPa × 1000), J w mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.
Biegunowy moment bezwładności
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Naprężenie styczne w ρ
Dla porównania na powierzchni τmax = 59,68 MPa.
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa
Odpowiedź
τρ = 44,76 MPa
Przykład 2Średni
Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
Oblicz φ(°)
Pokaż podpowiedzi
Użyj φ = TL/(GJ), co daje radiany.
Używaj wszędzie N i mm: T w N·mm, L w mm, G w MPa (GPa × 1000), J w mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.
Biegunowy moment bezwładności
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Kąt skręcenia
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°
Odpowiedź
φ = 6,576°
Przykład 3Trudny
Pełny wał ma przenosić 15 kW przy 1000 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
Oblicz d(mm)
Pokaż podpowiedzi
Moment z mocy: T = P/ω, gdzie ω = 2πN/60 w rad/s.
Przyrównaj τmax = 16T/(πd³) do naprężenia dopuszczalnego i wyznacz d.
T = 143,2 N·m.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.
Moment skręcający
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Średnica z naprężenia dopuszczalnego
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm
Odpowiedź
d = 21,35 mm
W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.
Pytania i odpowiedzi
Pytania i odpowiedzi
Skręcanie wałów: co to jest?
Ten moment obrotowy to moment skręcający T. Jest to siła razy ramię, na którym działa, w N·m. Nacisk 200 N na końcu klucza o długości 0,5 m daje T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Wał obciążony momentem jest poddany skręcaniu. Skręca się nieznacznie, a jego materiał przenosi naprężenie styczne τ (tau): sąsiednie przekroje wału próbują przesuwać się względem siebie.
Skręcanie wałów: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.
Skręcanie wałów: jakie błędy są najczęstsze?
Użycie średnicy zamiast promienia w τ = T·r/J.
Zapominanie o zamianie rpm na rad/s.
Podanie kąta skręcenia w radianach, gdy pytanie dotyczy stopni.
Skręcanie wałów: co ćwiczysz?
Łatwy: naprężenie styczne
Średni: kąt skręcenia
Trudny: przenoszenie mocy
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.