Koło Mohra i transformacja naprężeń: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: koło Mohra · naprężenia główne

Darmowe zadania z tematu Koło Mohra i transformacja naprężeń z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: naprężenia główne, maksymalne naprężenie styczne i kierunek główny, naprężenie na płaszczyźnie ukośnej.

Darmowe zadanieŁatwy
σx​ = 90σy​ = −20MPaelement w kierunkach głównych

W punkcie obciążonej części naprężenia główne w płaszczyźnie wynoszą σ₁ = 90 MPa i σ₂ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σavg działające na płaszczyznach maksymalnego naprężenia stycznego w płaszczyźnie.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Koło Mohra i transformacja naprężeńĆwicz teraz: Koło Mohra i transformacja naprężeń5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwynaprężenia główne
  2. Średnimaksymalne naprężenie styczne i kierunek główny
  3. Trudnynaprężenie na płaszczyźnie ukośnej

Jak rozwiązywać zadania: Koło Mohra i transformacja naprężeń

  1. Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
  2. Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
  4. Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Typowe błędy

  • Użycie θ zamiast 2θ w równaniach transformacji.
  • Dodawanie (σx − σy)/2 i τxy zamiast łączenia ich twierdzeniem Pitagorasa.
  • Zła konwencja znaków dla naprężeń stycznych.

Najważniejsze wzory

Środek
C = (σx + σy)/2
Promień
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Naprężenia główne
σ1,2 = C ± R
Kierunek główny
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Płaszczyzna ukośna
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Naucz się tematu Koło Mohra i transformacja naprężeń od zera

Wcześniej: Naprężenie i odkształcenie osiowe

1Dlaczego naprężenie zależy od kierunku

W lekcji o obciążeniu osiowym naprężenie było jedną liczbą: siła podzielona przez pole. Ale naprężenie w punkcie zależy od kierunku przekroju, który rozpatrujesz.

Skręcaj kawałek kredy, aż pęknie. Pęka wzdłuż spirali pod kątem 45°, a nie prosto w poprzek. Na tej płaszczyźnie 45° rozciąganie jest największe, a kreda jest słaba na rozciąganie.

Aby opisać naprężenie w jednym punkcie, inżynierowie rysują maleńki kwadrat, czyli element naprężeń, z naprężeniami na jego ściankach:

σx​σy​τxy​xy
  • σx i σy to naprężenia normalne, prostopadłe do ścianek. Wartość dodatnia oznacza rozciąganie (strzałki skierowane na zewnątrz), ujemna ściskanie.
  • τxy to naprężenie styczne (ścinające), działające wzdłuż ścianek. Próbuje zamienić kwadrat w romb.

Obróć kwadrat, a naprężenia na jego ściankach się zmienią. Ta lekcja pokazuje, jak je znaleźć dla każdego kierunku i które kierunki są najbardziej niebezpieczne.

Samosprawdzenie W punkcie σx = −40 MPa. Co to oznacza?
  1. Naprężenie styczne 40 MPa
  2. Rozciąganie 40 MPa w kierunku x
  3. Ściskanie 40 MPa w kierunku x
  4. Ściskanie 40 MPa w kierunku y

Odpowiedź: Ściskanie 40 MPa w kierunku x. Przy zwykłej konwencji znaków rozciąganie jest dodatnie, więc ujemne σx oznacza ściskanie, działające na ścianki prostopadłe do osi x.

2Koło Mohra

Koło Mohra to obraz wszystkich kierunków naraz. Każdy punkt na kole to jedno możliwe przecięcie przez punkt elementu.

Narysuj naprężenie normalne σ w prawo, a naprężenie styczne τ w górę. Potem zaznacz dwa punkty:

  • punkt x w (σx, τxy): naprężenia na ściance prostopadłej do osi x,
  • punkt y w (σy, −τxy): naprężenia na ściance prostopadłej do osi y.

Koło przechodzi przez oba punkty. Jego środek C leży na osi σ, w połowie odległości między nimi. Promień R wynika z twierdzenia Pitagorasa:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

Tam, gdzie koło przecina oś σ, naprężenie styczne wynosi zero. Te dwie wartości to naprężenia główne, największe i najmniejsze naprężenie normalne w punkcie. Szczyt koła to największe naprężenie styczne w płaszczyźnie:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Samosprawdzenie σx = 50 MPa, σy = 10 MPa i τxy = 15 MPa. Ile wynosi σ1?
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

Odpowiedź: 55 MPa. C = 30 MPa i R = √(20² + 15²) = 25 MPa, więc σ1 = 55 MPa. Wynik 65 dodaje 20 + 15 zamiast użyć Pitagorasa; 50 pomija naprężenie styczne.

3Kąty: na kole podwojone

Obrót elementu o kąt θ przesuwa jego punkt na kole Mohra o 2θ, w tę samą stronę. Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara jest dodatnie.

Kierunek σ1 to kąt θp od osi x, który wyznacza się z:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

Uważaj na ćwiartkę. Jeśli σx − σy jest ujemne, dodaj 180° do 2θp, gdy τxy > 0, albo odejmij 180°, gdy τxy < 0. Potem podziel przez 2.

Płaszczyzny maksymalnego ścinania leżą 45° od kierunków głównych (90° na kole).

Dla płaszczyzny, której normalna jest obrócona o θ od osi x, naprężenia wynoszą:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Samosprawdzenie W punkcie tan 2θp = 1, a σx − σy jest dodatnie. Ile wynosi θp?
  1. 22,5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67,5°

Odpowiedź: 22,5°. 2θp = 45°, więc θp = 22,5°. Odpowiedź 45° pomija podzielenie kąta z koła przez 2. Kąt −67,5° to kierunek σ2, oddalony o 90°.

4Metoda krok po kroku

  1. Zapisz σx, σy i τxy wraz ze znakami: rozciąganie dodatnie, ściskanie ujemne.
  2. Znajdź środek C = (σx + σy)/2.
  3. Znajdź promień R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. Naprężenia główne: σ1 = C + R i σ2 = C − R. Największe naprężenie styczne w płaszczyźnie: τmax = R.
  5. Kierunki: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), sprawdź ćwiartkę, a potem podziel przez 2.
  6. Dla danej płaszczyzny θ: użyj równań na σθ i τθ z 2θ.

Szybki szkic koła, nawet zgrubny, pokazuje znaki i to, który punkt jest σ1.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

W punkcie σx = 80 MPa, σy = 20 MPa i τxy = 40 MPa. Znajdź naprężenia główne, τmax, kierunek θp naprężenia σ1 oraz naprężenie normalne na płaszczyźnie obróconej o 45° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

1

Spójrz na element

xy

Oba naprężenia normalne są rozciągające. Naprężenie styczne jest dodatnie.

2

Środek i promień

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

Naprężenia główne i maksymalne ścinanie

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

Kierunek główny

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σx − σy jest dodatnie, więc korekta nie jest potrzebna: 2θp = 53,1° i θp = 26,6° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi x.

5

Płaszczyzna obrócona o 45°

Dla θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 i sin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

Sprawdź wynik

Suma σx + σy = 100 MPa jest równa σ1 + σ2 = 100 MPa. Ta suma jest taka sama przy każdym obrocie, więc to szybka kontrola.

Ponadto 90 MPa leży między σ2 = 0 a σ1 = 100 MPa, tak jak każde naprężenie normalne.

Odpowiedź

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° oraz σ45° = 90 MPa.

6Typowe błędy

  • Bezpośrednie dodanie (σx − σy)/2 i τxy. Promień łączy je za pomocą Pitagorasa.
  • Użycie θ zamiast 2θ w równaniach transformacji albo zapomnienie o podzieleniu przez 2 kąta odczytanego z koła.
  • Pominięcie znaku minus: naprężenie ściskające trzeba wstawić jako liczbę ujemną.
  • Zaznaczenie punktu y w (σy, +τxy). Leży on w −τxy, po przeciwnej stronie środka niż x.
  • Pominięcie ćwiartki dla 2θp, gdy σx < σy.
Samosprawdzenie σx = 60 MPa, σy = 0 i τxy = 40 MPa. Ile wynosi największe naprężenie styczne w płaszczyźnie?
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

Odpowiedź: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. Wynik 70 dodaje 30 + 40; 30 pomija naprężenie styczne; 40 to tylko τxy.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: naprężenia główne. Na podstawie σx, σy i τxy znajdź σ1 lub σ2. Warianty: czyste ścinanie albo pręt osiowo obciążony, przecięty pod kątem.
  • Średnie: maksymalne ścinanie i kierunek główny. Znajdź τmax = R lub kąt θp, między −90° a 90°.
  • Trudne: naprężenie na płaszczyźnie nachylonej. Użyj równania na σθ lub τθ z 2θ. Warianty łączą obciążenie osiowe ze skręcaniem albo używają naprężeń głównych w sprawdzeniu wytrzymałości, takim jak hipoteza von Misesa lub Tresci.

Najpierw zapisz C i R. Niemal każde zadanie w tym temacie rozwiązuje się z tych dwóch liczb.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

W punkcie σₓ = 30 MPa i σᵧ = 50 MPa, a ponadto działa pewne naprężenie styczne. Na elemencie obróconym o 30° naprężenie normalne w obróconym kierunku x′ wynosi 87 MPa. Wyznacz naprężenie normalne σy′ w obróconym kierunku y′.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

Oblicz σy′ (MPa)

Pokaż podpowiedzi
  1. Nie potrzebujesz τₓᵧ ani równań transformacji.
  2. Suma naprężeń normalnych na dwóch prostopadłych płaszczyznach jest taka sama dla każdej orientacji (środek koła Mohra się nie przesuwa).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia

Punkty x′ i y′ leżą na przeciwnych końcach średnicy, więc ich średnia to zawsze środek C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Odpowiedź

σy′ = −7 MPa
Przykład 2Średni
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θp od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

Oblicz θp (°)

Pokaż podpowiedzi
  1. Narysuj koło Mohra: punkt x w (σₓ, τₓᵧ), punkt y w (σᵧ, −τₓᵧ), środek C pośrodku.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Uważaj na ćwiartkę.
  3. C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

στxyCσ1​σ2​

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Kąt na elemencie

θp = −54,22°

Odpowiedź

θp = −54,22°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Przykład 3Trudny
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2,5 MPap

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 500 mm i grubości ścianki 5 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 2,5 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 60° do osi walca. Wyznacz wartość naprężenia stycznego |τn| działającego wzdłuż spoiny.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

Oblicz |τn| (MPa)

Pokaż podpowiedzi
  1. Naprężenie obwodowe σh = pr/t, naprężenie osiowe σa = pr/(2t). Na płaszczyznach osiowych i obwodowych nie ma naprężeń stycznych.
  2. Naprężenie styczne wzdłuż spoiny: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62,5 MPa.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Cylinder cienkościenny: naprężenie obwodowe σh = pr/t i naprężenie osiowe σa = pr/(2t); są to naprężenia główne w ściance.

Naprężenia w ściance

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σa), a oś y po obwodzie (σh). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

|τn| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Odpowiedź

|τn| = 27,06 MPa

Pytania i odpowiedzi

Koło Mohra i transformacja naprężeń: co to jest?

W lekcji o obciążeniu osiowym naprężenie było jedną liczbą: siła podzielona przez pole. Ale naprężenie w punkcie zależy od kierunku przekroju, który rozpatrujesz.

Skręcaj kawałek kredy, aż pęknie. Pęka wzdłuż spirali pod kątem 45°, a nie prosto w poprzek. Na tej płaszczyźnie 45° rozciąganie jest największe, a kreda jest słaba na rozciąganie.

Koło Mohra i transformacja naprężeń: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
  2. Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
  4. Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Koło Mohra i transformacja naprężeń: jakie błędy są najczęstsze?
  • Użycie θ zamiast 2θ w równaniach transformacji.
  • Dodawanie (σx − σy)/2 i τxy zamiast łączenia ich twierdzeniem Pitagorasa.
  • Zła konwencja znaków dla naprężeń stycznych.
Koło Mohra i transformacja naprężeń: co ćwiczysz?
  • Łatwy: naprężenia główne
  • Średni: maksymalne naprężenie styczne i kierunek główny
  • Trudny: naprężenie na płaszczyźnie ukośnej

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Kalkulatory

Kalkulator koła Mohra

Przedmioty z tym tematem

Wytrzymałość materiałówProjektowanie maszynPrzygotowanie do egzaminu FE Mechanical

Więcej tematów: Mechanika

Reakcje podpór belekRamy i maszynyNaprężenie i odkształcenie osioweSkręcanie wałówRzut ukośnyPraca i energiaRuch obrotowy bryły sztywnejDrgania mechaniczneSilniki cieplne i chłodziarkiObiegi silników cieplnych gazowychCiągłość i BernoulliTarcie w rurach i straty wysokościPompy i moc pompPrzewodzenie ciepłaKoła i przekładnie zębate

Karta pracy do druku

Koło Mohra i transformacja naprężeń: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Koło Mohra i transformacja naprężeńĆwicz teraz: Koło Mohra i transformacja naprężeń5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.