Drgania mechaniczne: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Darmowe zadania z tematu Drgania mechaniczne z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: częstotliwość drgań własnych, współczynnik tłumienia, sprężyny szeregowe i równoległe.
Darmowe zadanieŁatwy
Maszyna stoi na podporach sprężystych, które pod jej ciężarem uginają się o 15 mm. Potraktuj ją jako nietłumiony układ o jednym stopniu swobody i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz częstotliwość drgań własnych fn w kierunku pionowym w Hz.
Zawieś masę na sprężynie, pociągnij ją trochę w dół i puść. Podskakuje w górę i w dół wokół położenia spoczynkowego. Ten powtarzający się ruch to drgania.
Każdy taki układ ma swój ulubiony rytm, częstość drgań własnych. Zależy tylko od sztywności sprężyny i ciężaru masy, a nie od tego, jak daleko ją pociągnięto.
Inżynierów to obchodzi, bo maszyna wstrząsana z częstością drgań własnych może drgać gwałtownie. To zjawisko to rezonans. Podpory silników, pralki i mosty są projektowane z jego uwzględnieniem.
Sztywniejsza sprężyna przyspiesza drgania. Cięższa masa je spowalnia.
Samosprawdzenie Zastępujesz masę na sprężynie masą cztery razy cięższą. Co dzieje się z częstością drgań własnych?
Maleje o połowę
Podwaja się
Pozostaje taki sam
Staje się cztery razy niższa
Odpowiedź: Maleje o połowę. Częstotliwość zależy od √(k/m). Cztery razy większa masa dzieli pierwiastek przez √4 = 2, więc częstotliwość maleje o połowę.
2Częstość drgań własnych i połączenia sprężyn
Dla masy m (kg) na sprężynie o sztywności k (N/m) częstość kołowa drgań własnych w rad/s wynosi:
ωn = √(k / m)
Jeden pełny cykl to 2π radianów. Zatem częstotliwość drgań własnych w hercach (cykle na sekundę) i okres (sekundy na cykl) wynoszą:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Czasem znasz tylko to, jak bardzo sprężyna zwisa pod ciężarem, czyli ugięcie statyczne δst = m·g/k. Wtedy ωn = √(g / δst), z δst w metrach.
Gdy jest kilka sprężyn, najpierw zastąp je jedną sprężyną zastępczą:
Obok siebie (równolegle) sprężyny dzielą obciążenie, a sztywności się dodają.
Jedna za drugą (szeregowo) każda sprężyna przenosi pełne obciążenie, a sprężyna zastępcza jest bardziej miękka niż każda z nich.
Samosprawdzenie Dwie sprężyny po 10 kN/m połączono jedna za drugą (szeregowo). Ile wynosi sztywność zastępcza?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Odpowiedź: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, więc k = 5 kN/m. Dodanie do 20 kN/m to reguła dla sprężyn połączonych równolegle.
3Tłumienie
Rzeczywiste drgania wygasają. Tłumik (tłok poruszający się w oleju, jak amortyzator samochodowy) odbiera energię. Jego siłę opisuje współczynnik tłumienia c w N·s/m.
Tłumienie krytyczne to taka ilość tłumienia, która akurat zatrzymuje masę przed jakimkolwiek odbijaniem:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
Współczynnik tłumienia porównuje rzeczywiste tłumienie z tą wartością krytyczną:
ζ = c / cc
ζ < 1: tłumienie podkrytyczne. Masa nadal drga, ale wychylenia maleją.
ζ = 1: tłumienie krytyczne. Wraca do spoczynku tak szybko, jak to możliwe, bez przeregulowania.
ζ > 1: tłumienie nadkrytyczne. Wolno wraca bez drgań.
Układ podkrytyczny drga nieco wolniej niż nietłumiony, z częstością drgań tłumionych:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Samosprawdzenie Masa 10 kg leży na sprężynie 1000 N/m z tłumikiem o c = 50 N·s/m. Ile wynosi współczynnik tłumienia?
0,25
0,5
2,5
4
Odpowiedź: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, więc ζ = 50/200 = 0,25. Pominięcie czynnika 2 daje 0,5, a dzielenie w drugą stronę daje 4.
4Metoda krok po kroku
Zamień wszystko na jednostki SI: kN/m na N/m (× 1000), mm na m, gramy na kg.
Jeśli jest kilka sprężyn, połącz je w jedno k: dodaj je przy połączeniu równoległym, dodaj ich odwrotności przy szeregowym.
Znajdź ωn = √(k/m) w rad/s.
Jeśli pytają o herce, podziel przez 2π: fn = ωn/(2π). Dla okresu weź T = 1/fn.
Przy tłumieniu znajdź cc = 2·√(k·m), potem ζ = c/cc i, jeśli trzeba, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Rozróżniaj ω (rad/s) i f (Hz). Różnią się czynnikiem 2π ≈ 6,28, a ich mylenie to najczęstszy sposób na utratę punktów.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Masa 50 kg wisi na sprężynie o sztywności 20 kN/m. Pomiń tłumienie. Znajdź częstotliwość drgań własnych fn w Hz i okres drgań.
1
Narysuj i zamień jednostki
Sztywność musi być w N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. Masa jest już w kg.
2
Pulsacja drgań własnych
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Zamień na herce
Podziel przez 2π, aby policzyć pełne cykle na sekundę:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
Okres
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
Masa wykonuje nieco więcej niż trzy pełne cykle góra–dół na sekundę.
5
Sprawdź wynik
Ugięcie statyczne wynosi δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
Te same 20 rad/s, znalezione inną drogą. Odpowiedź jest poprawna.
6
Idziemy dalej: dodajemy tłumik
Z tłumikiem c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, więc ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Odpowiedź
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), a okres to T ≈ 0,314 s.
6Typowe błędy
Podanie ωn w rad/s, gdy pytano o fn w Hz, albo odwrotnie.
Pozostawienie sztywności w kN/m. Wzór wymaga N/m.
Dodawanie sprężyn szeregowych tak, jakby były równoległe.
Pominięcie 2 w cc = 2·√(k·m).
Użycie ciężaru m·g zamiast masy m w ωn = √(k/m).
Samosprawdzenie Masa 4 kg wisi na sprężynie 400 N/m. Jaka jest jej częstotliwość drgań własnych w Hz?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Odpowiedź: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, a fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Zatrzymanie się na 10 daje rad/s, a nie Hz; mnożenie przez 2π daje 62,8; użycie 0,4 (kN/m) daje 0,05 Hz.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: częstość drgań własnych. Masa na sprężynie: znajdź ωn w rad/s lub fn w Hz. Niektóre zadania podają tylko ugięcie statyczne maszyny na podporach.
Średnie: współczynnik tłumienia. Znajdź ζ z m, k i c albo znajdź częstotliwość drgań tłumionych fd z danego ζ. Inne podają dwa maksima z próby drgań swobodnych.
Trudne: sprężyny połączone szeregowo i równolegle, czasem jednocześnie (dwie sprężyny obok siebie trzymające belkę, z trzecią sprężyną pod spodem). Najpierw znajdź keq, potem fn.
Dla dwóch maksimów x0 i xn oddalonych o n cykli użyj dekrementu logarytmicznego:
Masa 40 kg wisi na sprężynie o sztywności 15 kN/m. Pomiń tłumienie. Wyznacz częstotliwość drgań własnych fn w Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Oblicz fn(Hz)
Pokaż podpowiedzi
Pracuj w jednostkach SI: k w N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Pulsacja drgań własnych
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
W hercach
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Odpowiedź
fn = 3,082 Hz
Przykład 2Średni
Masa 10 kg na sprężynie o sztywności 50 kN/m ma tłumik wiskotyczny dający współczynnik tłumienia 0,4. Wyznacz częstotliwość drgań swobodnych tłumionych fd w Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Oblicz fd(Hz)
Pokaż podpowiedzi
Najpierw wyznacz częstotliwość drgań własnych nietłumionych.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Częstotliwość drgań własnych nietłumionych
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Częstotliwość drgań tłumionych
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Odpowiedź
fd = 10,31 Hz
Przykład 3Trudny
Masa 5 kg wisi na dwóch sprężynach połączonych jedna pod drugą (szeregowo): górna sprężyna ma k₁ = 80 kN/m, a dolna k₂ = 20 kN/m. Wyznacz sztywność zastępczą keq układu sprężyn w kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Oblicz keq(kN/m)
Pokaż podpowiedzi
Sprężyny równoległe mają wspólne ugięcie: sztywności się dodaje. Sprężyny szeregowe przenoszą wspólną siłę: dodaje się podatności 1/k.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sztywność zastępcza
Sprężyny szeregowe przenoszą tę samą siłę, a ich ugięcia się sumują, więc łączy się je przez odwrotności: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Zawieś masę na sprężynie, pociągnij ją trochę w dół i puść. Podskakuje w górę i w dół wokół położenia spoczynkowego. Ten powtarzający się ruch to drgania.
Każdy taki układ ma swój ulubiony rytm, częstość drgań własnych. Zależy tylko od sztywności sprężyny i ciężaru masy, a nie od tego, jak daleko ją pociągnięto.
Drgania mechaniczne: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Drgania mechaniczne: jakie błędy są najczęstsze?
To ωn w rad/s. Podziel przez 2π, aby otrzymać częstotliwość w Hz.
Przelicz kN/m na N/m (pomnóż przez 1000), zanim użyjesz ωn = √(k/m).
Podziel ωn przez 2π, aby otrzymać Hz; nie mnóż.
Drgania mechaniczne: co ćwiczysz?
Łatwy: częstotliwość drgań własnych
Średni: współczynnik tłumienia
Trudny: sprężyny szeregowe i równoległe
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.