Sprężyny i wahadła: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Sprężyny i wahadła z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: masa na sprężynie, wahadło, prędkość, przyspieszenie i energia.

Darmowe zadanieŁatwy
4,8 kgk = ?

Ciężarek o masie 4,8 kg na sprężynie drga z okresem 2,5 s. Wyznacz sztywność sprężyny k.

m = 4,8 kgT = 2,5 s
N/m
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Sprężyny i wahadłaĆwicz teraz: Sprężyny i wahadła5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwymasa na sprężynie
  2. Średniwahadło
  3. Trudnyprędkość, przyspieszenie i energia

Najważniejsze wzory

Masa na sprężynie
T = 2π·√(m/k)
Wahadło
T = 2π·√(L/g)
Pulsacja
ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energia
E = ½·k·A²

Naucz się tematu Sprężyny i wahadła od zera

Wcześniej: Zasady dynamiki Newtona

1Czym są drgania

Odciągnij masę na sprężynie na bok i puść. Wraca obok środka, wychyla się na drugą stronę i znów wraca. To samo robi dziecko na huśtawce i struna gitary.

Ten powtarzający się ruch to drgania (oscylacje). Punkt środkowy, w którym masa pozostawałaby w spoczynku, to położenie równowagi.

m0−A+Axk
  • Amplituda A to największa odległość od położenia równowagi, w m.
  • Okres T to czas jednego pełnego drgania, tam i z powrotem, w s.
  • Częstotliwość f to liczba drgań na sekundę, w hercach (Hz).
f = 1 / T
Samosprawdzenie Masa na sprężynie wykonuje 20 pełnych drgań w 10 s. Jaki jest okres?
  1. 0,5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

Odpowiedź: 0,5 s. T = czas / liczba drgań = 10/20 = 0,5 s. Wynik 2 to częstotliwość w Hz (20/10), czyli liczba drgań na sekundę.

2Ruch harmoniczny prosty

Sprężyna ciągnie z powrotem siłą proporcjonalną do wydłużenia: F = −k·x. Sztywność k jest w N/m. Znak minus oznacza, że siła zawsze jest skierowana ku położeniu równowagi.

Taka siła przywracająca daje ruch harmoniczny prosty (SHM). Położenie zmienia się w czasie według cosinusa:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

Częstość kołowa ω (omega), w rad/s, określa, jak szybko ruch się powtarza. Jeden okres to 2π rad.

ω = 2π / T = 2π · f

Amplituda nie zmienia okresu. Większe wychylenie oznacza dłuższą drogę, ale też większą prędkość.

3Wzory dla sprężyny i wahadła

Dla masy na sprężynie cięższa masa drga wolniej, a sztywniejsza sprężyna szybciej:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

Dla wahadła matematycznego o długości L, przy małych wychyleniach, masa w ogóle nie ma znaczenia:

T = 2π · √(L / g)

Jeśli sprężyna wisi pionowo, ciężar rozciąga ją do nowego położenia równowagi: k·x = m·g. Użyj tego, aby znaleźć k z zmierzonego wydłużenia.

Prędkość jest największa w położeniu równowagi i zerowa na końcach. Przyspieszenie jest największe na końcach, gdzie siła sprężyny jest największa:

vmax = A · ω amax = A · ω²

Energia całkowita pozostaje stała: E = ½·k·A². W położeniu x dzieli się na ½·k·x² + ½·m·v².

Samosprawdzenie Zastępujesz masę na sprężynie masą dwa razy cięższą. Co dzieje się z okresem?
  1. Podwaja się
  2. Staje się 1,41 razy krótszy
  3. Staje się 4 razy dłuższy
  4. Staje się √2 ≈ 1,41 razy dłuższy

Odpowiedź: Staje się √2 ≈ 1,41 razy dłuższy. T = 2π·√(m/k), więc T rośnie z pierwiastkiem z m. Podwojenie m mnoży T przez √2. Stwierdzenie, że się podwaja, pomija pierwiastek.

4Metoda krok po kroku

  1. Zamień wszystko na jednostki SI: gramy na kg, centymetry na m.
  2. Zdecyduj, jaki to układ: masa na sprężynie (użyj k i m) czy wahadło (użyj L i g).
  3. Jeśli podano okres lub liczbę drgań, najpierw znajdź T: T = czas / liczba.
  4. Znajdź ω z układu: ω = √(k/m) lub ω = 2π/T.
  5. Użyj wzoru na to, o co pytają: T, f, vmax = A·ω, amax = A·ω² lub energię ½·k·A².
  6. Sprawdź, czy odpowiedź jest rozsądna: okres ułamka sekundy dla sztywnej sprężyny, kilka sekund dla długiego wahadła.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Masa 0,5 kg na sprężynie o k = 200 N/m zostaje odciągnięta o 5 cm od położenia równowagi i puszczona. Znajdź okres T, częstotliwość f, maksymalną prędkość vmax i maksymalne przyspieszenie amax.

1

Jednostki

A = 5 cm = 0,05 m m = 0,5 kg k = 200 N/m
2

Pulsacja

ω = √(k / m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s
3

Okres i częstotliwość

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0,314 s
f = 1 / T = 3,18 Hz
4

Maksymalna prędkość

Masa jest najszybsza, gdy przechodzi przez położenie równowagi.

vmax = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s
5

Maksymalne przyspieszenie

Przyspieszenie jest największe na końcach, gdzie masa zawraca.

amax = A · ω² = 0,05 · 400 = 20 m/s²
6

Sprawdź wynik

Sprawdzenie energii: ½·k·A² = ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J, a ½·m·vmax² = ½ · 0,5 · 1² = 0,25 J. Cała energia sprężyny zamienia się w energię kinetyczną w położeniu równowagi.

Odpowiedź

T ≈ 0,314 s, f ≈ 3,18 Hz, vmax = 1 m/s oraz amax = 20 m/s².

6Typowe błędy

  • Użycie amplitudy w cm zamiast w m.
  • Odwrócenie ułamka: T = 2π·√(m/k), a nie √(k/m). Dla wahadła jest to √(L/g).
  • Pominięcie 2π albo mylenie ω (rad/s) i f (Hz).
  • Myślenie, że masa zmienia okres wahadła albo że amplituda zmienia jakikolwiek okres.
  • Mylenie vmax = A·ω i amax = A·ω².
Samosprawdzenie Masa drga z amplitudą 10 cm i ω = 10 rad/s. Jakie jest jej maksymalne przyspieszenie?
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

Odpowiedź: 10 m/s². amax = A·ω² = 0,1 · 100 = 10 m/s². Użycie A = 10 (cm) daje 1000. Wynik 1 m/s to A·ω, czyli maksymalna prędkość, a nie przyspieszenie.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: masa na sprężynie. Znajdź T, f lub k, czasem z liczby drgań albo z tego, jak bardzo masa rozciąga wiszącą sprężynę.
  • Średnie: wahadło. Znajdź jego okres, długość dla danego okresu lub g na innej planecie. Niektóre zadania pytają o prędkość w danym położeniu lub w danej chwili.
  • Trudne: prędkość, przyspieszenie i energia: vmax, amax, energia kinetyczna w danym położeniu albo amplituda po uderzeniu pocisku w klocek na sprężynie.

Szybkie sprawdzenie dla każdego wahadła: wahadło o długości 1 m na Ziemi ma okres około 2 s.

Samosprawdzenie Wahadło ma długość 2,45 m. Przy g = 9,81 m/s² jaki jest jego okres dla małych wychyleń?
  1. 0,50 s
  2. 1,57 s
  3. 12,6 s
  4. 3,14 s

Odpowiedź: 3,14 s. T = 2π·√(2,45/9,81) = 2π · 0,5 = 3,14 s. Odwrócone √(g/L) daje 12,6 s, pominięcie pierwiastka daje 1,57 s, a pominięcie 2π daje 0,50 s.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
3,2 kgk = 210 N/m

Masa 3,2 kg na sprężynie o współczynniku sprężystości 210 N/m drga na powierzchni bez tarcia. Wyznacz okres drgań T.

m = 3,2 kgk = 210 N/m

Oblicz T (s)

Pokaż podpowiedzi
  1. Okres drgań układu masa–sprężyna nie zależy od amplitudy.
  2. T = 2π·√(m/k).
  3. √(m/k) = 0,1234 s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Okres

T = 2π·√(3,2/210) = 0,7756 s

Odpowiedź

T = 0,7756 s
Przykład 2Średni
1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Ciężarek o masie 1,1 kg na sprężynie o k = 120 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 7 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 6 cm od położenia równowagi.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Oblicz v (m/s)

Pokaż podpowiedzi
  1. Energia jest zachowana: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
  2. Zatem v = ω·√(A² − x²), gdzie ω = √(k/m).
  3. ω = 10,44 rad/s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

Prędkość w x

v = ω·√(A² − x²) = 10,44·√(0,07² − 0,06²) = 0,3766 m/s

Odpowiedź

v = 0,3766 m/s
Przykład 3Trudny
1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Masę 1,7 kg na sprężynie o k = 380 N/m odciągnięto o 11 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalne przyspieszenie amax.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Oblicz amax (m/s²)

Pokaż podpowiedzi
  1. ω = √(k/m).
  2. Przyspieszenie jest największe w skrajnych położeniach: amax = A·ω².
  3. ω = 14,95 rad/s, A = 0,11 m.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

Maksymalne przyspieszenie

amax = A·ω² = 0,11·14,95² = 24,59 m/s²

Odpowiedź

amax = 24,59 m/s²

Pytania i odpowiedzi

Sprężyny i wahadła: co to jest?

Odciągnij masę na sprężynie na bok i puść. Wraca obok środka, wychyla się na drugą stronę i znów wraca. To samo robi dziecko na huśtawce i struna gitary.

Ten powtarzający się ruch to drgania (oscylacje). Punkt środkowy, w którym masa pozostawałaby w spoczynku, to położenie równowagi.

Sprężyny i wahadła: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Sprężyny i wahadła: jakie błędy są najczęstsze?
  • Uwzględnij 2π: T = 2π·√(m/k) i f = 1/T.
  • Sprawdź ułamek pod pierwiastkiem: T = 2π·√(m/k), masa w liczniku.
  • To prędkość maksymalna, w położeniu równowagi. W x prędkość jest mniejsza: v = ω·√(A² − x²).
Sprężyny i wahadła: co ćwiczysz?
  • Łatwy: masa na sprężynie
  • Średni: wahadło
  • Trudny: prędkość, przyspieszenie i energia

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Zasady dynamiki Newtona

Potem przejdź do

Drgania mechaniczneFale, dźwięk i optyka

Kalkulatory

Kalkulator okresu wahadła i sprężynyKalkulator stałej sprężyny (prawo Hooke’a)

Przedmioty z tym tematem

DynamikaFizyka 1: MechanikaFale i optykaZadania do ćwiczeń z AP Physics 1

Więcej tematów: Fizyka

KinematykaZasady dynamiki NewtonaRuch po okręguPęd i zderzeniaPrawo Coulomba i pola elektrycznePola magnetyczne i indukcjaFale, dźwięk i optyka

Karta pracy do druku

Sprężyny i wahadła: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Sprężyny i wahadłaĆwicz teraz: Sprężyny i wahadła5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.