Ruch po okręgu: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

1Czym jest ruch po okręgu

Samochód na zakręcie, kamień na sznurku i satelita wokół Ziemi poruszają się po okręgu. Nawet przy stałej prędkości ich kierunek stale się zmienia.

Zmiana kierunku to zmiana prędkości (wektora), więc ciało przyspiesza. To przyspieszenie jest skierowane do środka okręgu. Nazywa się je przyspieszeniem dośrodkowym a_c.

Prędkość jest zawsze styczna do okręgu, pod kątem prostym do promienia. Gdyby dośrodkowe oddziaływanie nagle ustało, ciało poleciałoby prosto wzdłuż stycznej, a nie na zewnątrz.

2Przyspieszenie i siła dośrodkowa

Przyspieszenie dośrodkowe zależy od prędkości v (m/s) i promienia r (m):

Dwukrotnie większa prędkość daje czterokrotnie większe przyspieszenie. Ciaśniejszy łuk (mniejsze r) daje większe przyspieszenie.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona coś musi dostarczyć siłę skierowaną do wewnątrz o takiej wartości:

F_c nie jest nową siłą. To wypadkowa siła skierowana do środka, którą tworzą rzeczywiste siły: tarcie na płaskim zakręcie, naciąg liny, grawitacja dla satelity albo siła nacisku na pochylonej jezdni.

Obiekty wirujące często opisuje się prędkością kątową ω w rad/s. Jeden obrót to 2π rad, więc 60 obr/min to 2π rad/s.

3Metoda krok po kroku

1. Zamień prędkości na m/s, promienie na m, a obr/min na rad/s.
2. Narysuj ciało w rozważanym punkcie i zaznacz kierunek do środka.
3. Narysuj rzeczywiste siły: ciężar, siłę nacisku, tarcie, naciąg.
4. Przyjmij „do środka” za dodatni kierunek i dodaj składowe sił w tym kierunku.
5. Przyrównaj tę wypadkową siłę skierowaną do środka do m·v²/r i rozwiąż.

Na płaskim zakręcie samo tarcie daje siłę skierowaną do środka. Największa prędkość przed poślizgiem wynika z μ·m·g = m·v²/r. Masa się skraca:

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

5Okręgi pionowe

W okręgu pionowym ciężar raz jest skierowany do środka, a raz od środka. Rozpatrz górny i dolny punkt osobno.

• W punkcie górnym naciąg (lub siła normalna) i ciężar są skierowane w dół, do środka.
• W punkcie dolnym naciąg jest skierowany w górę, do środka, ale ciężar jest skierowany od środka. Sznur musi utrzymać ciężar i dodatkowo dać siłę dośrodkową.

W punkcie górnym sznur jest jeszcze napięty, gdy T = 0. Wtedy sam ciężar daje siłę skierowaną do środka: m·g = m·v²/r, więc v_min = √(g·r).

Jeśli znasz prędkość w jednym punkcie, a potrzebujesz jej w innym, użyj energii: wzniesienie o 2r kosztuje 2·g·r z v²/2 na kilogram, więc v_top² = v_bottom² − 4·g·r.

6Typowe błędy

• Rysowanie siły dośrodkowej jako dodatkowej siły obok tarcia lub naciągu. Jest ona sumą rzeczywistych sił.
• Zapomnienie o podniesieniu prędkości do kwadratu we wzorze v²/r.
• Używanie km/h lub obr/min wprost. Najpierw zamień je na m/s lub rad/s.
• Zły znak ciężaru w okręgu pionowym: u góry pomaga on w ruchu po okręgu, a na dole działa przeciwko naciągowi sznura.
• Przekonanie, że na ciało działa siła skierowana na zewnątrz. W układzie związanym z ziemią takiej siły nie ma.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

• Łatwe: siła dośrodkowa. Znajdź a_c lub F_c dla samochodu na zakręcie, kamienia na sznurze lub punktu na obracającej się tarczy.
• Średnie: tarcie na zakręcie i pokrewne przypadki: największa prędkość na płaskim zakręcie, zakręt z przechyłką, garb na drodze, wahadło stożkowe lub wirówka w wesołym miasteczku.
• Trudne: okrąg pionowy. Naciąg u góry lub na dole, najmniejsza prędkość w górnym punkcie albo pętla śmierci z zasadą zachowania energii.

W każdym przypadku najpierw zapytaj: która rzeczywista siła, albo jaka ich kombinacja, jest skierowana do środka?