Fale, dźwięk i optyka: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Darmowe zadania z tematu Fale, dźwięk i optyka z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: prędkość fali, poziom dźwięku i załamanie, fale stojące, soczewki i efekt Dopplera, interferencja, siatki, zwierciadła i światłowody.
Naucz się tematu Fale, dźwięk i optyka od zera
Wcześniej: Sprężyny i wahadła
1Czym jest fala
Fala przenosi energię z miejsca na miejsce, nie niosąc ze sobą materii: ośrodek tylko drga. Na strunie lub wodzie ruch jest poprzeczny (w poprzek kierunku rozchodzenia się); dźwięk w powietrzu jest podłużny (wzdłuż niego).
Długość fali λ to długość jednego pełnego cyklu, okres T to czas jednego cyklu, a częstotliwość f = 1/T. W ciągu jednego okresu fala przesuwa się o jedną długość fali, więc:
v = fλ struna: v = √(T/μ), μ = m/L
Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością około 343 m/s, światło z c = 3,00 × 10⁸ m/s. Prędkość zależy od ośrodka, nie od częstotliwości.
Samosprawdzenie Dźwięk o częstotliwości 686 Hz rozchodzi się z prędkością 343 m/s. Jaka jest jego długość fali?
- 0,002 m
- 0,5 m
- 2 m
- 235 000 m
Odpowiedź: 0,5 m. λ = v/f = 343/686 = 0,5 m. Dzielenie w drugą stronę daje 2 m, a mnożenie daje ogromną liczbę.
2Poziom natężenia dźwięku i efekt Dopplera
Ucho reaguje na natężenie I (W/m²) w skali logarytmicznej, więc głośność podaje się w decybelach:
β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²
Dziesięciokrotnie większe natężenie dodaje 10 dB; dwa identyczne źródła dodają około 3 dB. Małe źródło rozprasza moc na sferę, I = P/(4πr²), więc dwukrotne zwiększenie odległości obniża poziom o około 6 dB.
Gdy źródło i słuchacz zbliżają się do siebie, wysokość dźwięku rośnie; gdy się oddalają, maleje (efekt Dopplera):
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Prędkość słuchacza idzie do licznika, prędkość źródła do mianownika.
3Fale stojące
Fale odbite na obu końcach struny interferują w falę stojącą. Struna zamocowana na obu końcach ma węzły na końcach i mieści całkowitą liczbę półfal:
L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …
Rura otwarta na obu końcach podlega tej samej regule. Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym, więc mieszczą się tylko harmoniczne nieparzyste: fₙ = n·v/(4L), n = 1, 3, 5, …
Samosprawdzenie Rura zamknięta na jednym końcu ma częstotliwość podstawową 100 Hz. Które z poniższych częstotliwości może jeszcze wytworzyć?
- 150 Hz
- 200 Hz
- 300 Hz
- 50 Hz
Odpowiedź: 300 Hz. Rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste: 100, 300, 500 Hz, … Dla 200 Hz potrzebne byłoby n = 2, którego rura zamknięta nie mieści.
4Załamanie światła i soczewki
Światło zwalnia w szkle lub wodzie o czynnik n = c/v (współczynnik załamania). Na granicy ośrodków promień zmienia kierunek (prawo Snelliusa), a kąty mierzy się od normalnej:
n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ kąt graniczny: sin θc = n₂/n₁
Przy przejściu z ośrodka gęstszego do rzadszego, powyżej θc, całe światło zostaje odbite (całkowite wewnętrzne odbicie). Światłowody prowadzą światło w ten sposób.
Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają jedno równanie, z powiększeniem m = −dᵢ/d₀:
1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ
Znaki: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego. Dodatnie dᵢ oznacza obraz rzeczywisty, ujemne – pozorny; m < 0 oznacza obraz odwrócony.
5Interferencja i dyfrakcja
Światło z dwóch wąskich szczelin w odległości d nakłada się na ekranie w odległości L. Tam, gdzie różnica dróg d·sin θ jest całkowitą wielokrotnością długości fali, fale się wzmacniają: jasne prążki.
d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d
Siatka dyfrakcyjna ma wiele szczelin: N linii na mm oznacza d = 1/N mm. Jej maksima są ostre i szeroko rozstawione, a najwyższy rząd to największa liczba całkowita m z m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, więc jej maksimum centralne ma szerokość 2λL/a.
6Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po krokuPrzedmiot stoi 30 cm przed soczewką skupiającą o f = 10 cm. Znajdź odległość obrazu i powiększenie.
11/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30
Zatem dᵢ = 15 cm.
2dᵢ jest dodatnie, więc obraz jest rzeczywisty: powstaje po drugiej stronie soczewki i można go złapać na ekranie.
3m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0,5
Obraz jest odwrócony i dwa razy mniejszy od przedmiotu.
4Promień równoległy do osi załamuje się przez F po drugiej stronie; promień przez środek biegnie prosto. Przecinają się 15 cm za soczewką, poniżej osi.
Odpowiedź dᵢ = 15 cm i m = −0,5: obraz rzeczywisty, odwrócony, o połowę mniejszy.
Samosprawdzenie Przedmiot jest 5 cm przed soczewką skupiającą o f = 10 cm. Jaki obraz powstaje?
- Brak obrazu: promienie wychodzą równolegle
- Pozorny i prosty, po tej samej stronie co przedmiot
- Rzeczywisty i odwrócony, po drugiej stronie
- Rzeczywisty i prosty, po tej samej stronie
Odpowiedź: Pozorny i prosty, po tej samej stronie co przedmiot. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10, więc dᵢ = −10 cm: ujemna odległość obrazu oznacza obraz pozorny, a m = +2 oznacza obraz prosty i powiększony. Tak działa lupa.
7Typowe błędy i pytania egzaminacyjne
- Mierzenie kątów od powierzchni zamiast od normalnej.
- Użycie 10·log dla amplitud lub 20·log dla natężeń: natężenia używają 10·log.
- Przypisanie rurze zamkniętej harmonicznych parzystych.
- Pominięcie znaku minus przy obrazie pozornym lub soczewce rozpraszającej.
- Zapomnienie o zamianie nm, mm i cm na metry w zadaniach o interferencji.
- Łatwe: v = fλ, fale na strunach, poziomy natężenia dźwięku, prawo Snelliusa i prędkość światła w materiale.
- Średnie: fale stojące na strunach i w rurach, kąt graniczny, cienkie soczewki, efekt Dopplera i prawo odwrotnych kwadratów.
- Trudne: podwójne szczeliny, siatki dyfrakcyjne, pojedyncze szczeliny, zwierciadła, układy dwóch soczewek, echo od poruszających się obiektów i światłowody.
Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji