Kinematyka: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: ruch jednostajnie przyspieszony

Darmowe zadania z tematu Kinematyka z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: przyspieszanie, hamowanie, rzut pionowy.

Darmowe zadanieŁatwy
t (s)v (m/s)9 s6

Pociąg zwalnia jednostajnie od 20 m/s do 6 m/s w ciągu 9 s. Jaką drogę przebywa w tym czasie? Wyznacz s.

v₀ = 20 m/sv = 6 m/st = 9 s
m
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: KinematykaĆwicz teraz: Kinematyka5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyprzyspieszanie
  2. Średnihamowanie
  3. Trudnyrzut pionowy

Jak rozwiązywać zadania: Kinematyka

  1. Wypisz dane: v₀, v, a, t i s, z jednostkami.
  2. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i niewiadomą.
  3. Wybierz jeden kierunek dodatni i nadaj wielkościom przeciwnie skierowanym znak minus.
  4. Rozwiąż i sprawdź, czy odpowiedź ma sens fizyczny.

Typowe błędy

  • Zapominanie o zamianie km/h na m/s.
  • Pominięcie ½ w s = v₀·t + ½·a·t².
  • Użycie dodatniego przyspieszenia przy hamowaniu.

Najważniejsze wzory

Prędkość
v = v0 + a·t
Przemieszczenie
s = v0·t + ½·a·t²
Bez czasu
v² = v0² + 2·a·s
Jednostki
1 m/s = 3,6 km/h

Naucz się tematu Kinematyka od zera

1Czym jest kinematyka

Kinematyka opisuje, jak ciała się poruszają: jak szybko, jak daleko i jak długo. Nie pyta, dlaczego się poruszają. To zadanie sił i zasad dynamiki Newtona.

W tym temacie przyspieszenie jest stałe. Tak poruszają się samochód, który równomiernie przyspiesza, pociąg, który równomiernie hamuje, i kamień spadający swobodnie.

Przyspieszenie to zmiana prędkości na sekundę. Jeśli samochód zwiększa prędkość z 10 m/s do 13 m/s w ciągu jednej sekundy, jego przyspieszenie wynosi 3 m/s² (metrów na sekundę, na sekundę).

a = (v − v₀) / t

Ujemne przyspieszenie oznacza, że ciało zwalnia w kierunku dodatnim. Hamowanie to ujemne przyspieszenie.

Samosprawdzenie Samochód zwiększa prędkość z 10 m/s do 16 m/s w ciągu 3 s w stałym tempie. Jakie jest jego przyspieszenie?
  1. 18 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 3,3 m/s²
  4. 5,3 m/s²

Odpowiedź: 2 m/s². a = (v − v₀)/t = (16 − 10)/3 = 2 m/s². Podzielenie samej prędkości końcowej (16/3 = 5,3) pomija to, że samochód już jechał z prędkością 10 m/s.

2Pięć wielkości

Każde zadanie w tym temacie używa tych samych pięciu wielkości. Najpierw naucz się ich symboli i jednostek.

  • v₀: prędkość początkowa, w m/s. „Ze spoczynku” oznacza v₀ = 0.
  • v: prędkość końcowa, w m/s. „Aż się zatrzyma” oznacza v = 0.
  • a: przyspieszenie, w m/s². Stałe w całym ruchu.
  • t: czas, w s.
  • s: przemieszczenie (droga w kierunku dodatnim), w m.

Prędkości są często podane w km/h. Przed obliczeniami zamień je na m/s:

1 m/s = 3,6 km/h v (m/s) = v (km/h) / 3,6

Wybierz jeden kierunek dodatni, zwykle kierunek ruchu. Wielkość skierowana w przeciwną stronę dostaje znak minus. Dla piłki rzuconej w górę, gdy góra jest dodatnia, grawitacja daje a = −9,81 m/s².

Samosprawdzenie Samochód jedzie z prędkością 54 km/h. Ile to jest w m/s?
  1. 15 m/s
  2. 194,4 m/s
  3. 5,4 m/s
  4. 54 m/s

Odpowiedź: 15 m/s. Podziel przez 3,6: 54/3,6 = 15 m/s. Mnożenie przez 3,6 (194,4) idzie w złą stronę: prędkość w m/s jest zawsze mniejszą liczbą niż ta sama prędkość w km/h.

3Trzy równania

Przy stałym przyspieszeniu trzy równania łączą pięć wielkości:

v = v₀ + a·t
s = v₀·t + ½·a·t²
v² = v₀² + 2·a·s

Każde równanie pomija jedną wielkość. Pierwsze nie ma s, drugie nie ma v, a trzecie nie ma t. Wybierz równanie, które zawiera trzy rzeczy, które znasz, i tę, której szukasz.

Wykres prędkości od czasu pokazuje, dlaczego równania działają. Przy stałym przyspieszeniu wykres jest linią prostą, a pole pod linią to droga.

t (s)v (m/s)sav0​vt

Pole tej figury to prędkość średnia razy czas: s = ½·(v₀ + v)·t. Ta czwarta postać jest przydatna, gdy nie podano a.

Samosprawdzenie Znasz v₀, a i s, a szukasz v. Czasu nie podano. Którego równania użyjesz?
  1. a = (v − v₀)/t
  2. s = v₀·t + ½·a·t²
  3. v = v₀ + a·t
  4. v² = v₀² + 2·a·s

Odpowiedź: v² = v₀² + 2·a·s. Tylko v² = v₀² + 2·a·s zawiera v₀, a, s i v bez t. Wszystkie pozostałe równania potrzebują czasu, którego nie masz.

4Metoda krok po kroku

  1. Zrób szybki szkic i wybierz kierunek dodatni.
  2. Wypisz v₀, v, a, t i s. Zapisz wartość każdej znanej wielkości, ze znakiem, i zaznacz niewiadomą.
  3. Zamień km/h na m/s i minuty na sekundy.
  4. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i niewiadomą.
  5. Przekształć, podstaw liczby i rozwiąż.
  6. Sprawdź, czy odpowiedź ma sens: hamujący samochód nie jedzie do tyłu, a czas nigdy nie jest ujemny.

Gdy ruch ma kilka faz, rozwiązuj je jedna po drugiej. Prędkość końcowa jednej fazy jest prędkością początkową następnej.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Samochód jadący z prędkością 72 km/h hamuje ze stałym opóźnieniem 5 m/s², aż się zatrzyma. Jak długo trwa hamowanie i jaka jest droga hamowania?

1

Zamień prędkość

v₀ = 72 / 3,6 = 20 m/s
2

Wypisz wielkości

Przyjmij kierunek ruchu jako dodatni. Samochód zwalnia, więc przyspieszenie jest ujemne.

v₀ = 20 m/s v = 0 a = −5 m/s²

Niewiadome to t i s.

3

Znajdź czas hamowania

Użyj v = v₀ + a·t, które nie ma s.

0 = 20 + (−5)·t ⇒ t = 20 / 5 = 4 s
4

Znajdź drogę hamowania

Użyj v² = v₀² + 2·a·s, które nie ma t, więc błąd w czasie nie przeniesie się dalej.

0 = 20² + 2·(−5)·s ⇒ s = 400 / 10 = 40 m
5

Sprawdź wynik

t (s)v (m/s)1234102040 m

Pole trójkąta wynosi ½ · 4 s · 20 m/s = 40 m. Prędkość średnia to 10 m/s przez 4 s, co też daje 40 m.

Odpowiedź

Hamowanie trwa t = 4 s, a droga hamowania wynosi s = 40 m.

6Typowe błędy

  • Obliczanie w km/h zamiast w m/s. Najpierw podziel przez 3,6.
  • Pominięcie ½ w s = v₀·t + ½·a·t².
  • Użycie dodatniego przyspieszenia przy hamowaniu. Jeśli ruch jest dodatni, hamowanie jest ujemne.
  • Zapomnienie o minusie przy g dla ciała rzuconego w górę, gdy góra jest dodatnia.
  • Mylenie v₀ z v: „ze spoczynku” ustawia v₀ = 0, „zatrzymuje się” ustawia v = 0.
Samosprawdzenie Wózek rusza ze spoczynku i przyspiesza z a = 2 m/s² przez 3 s. Jaką drogę przebywa?
  1. 18 m
  2. 3 m
  3. 6 m
  4. 9 m

Odpowiedź: 9 m. s = v₀·t + ½·a·t² = 0 + ½ · 2 · 3² = 9 m. Pominięcie ½ daje 18 m. 6 m to prędkość końcowa a·t w m/s, a nie droga.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: przyspieszanie lub zwalnianie. Znajdź a, v lub s jednym równaniem, na przykład dla samochodu, który przyspiesza przez dany czas, lub kamienia upuszczonego z mostu.
  • Średnie: hamowanie i ruszanie. Prędkości w km/h, czas i droga hamowania, czas reakcji przed hamowaniem albo radiowóz doganiający samochód.
  • Trudne: rzuty pionowe i ruch w fazach. Piłka rzucona w górę z dachu, dwie piłki, które się spotykają, rakieta albo podróż, w której pojazd przyspiesza, jedzie ze stałą prędkością i hamuje.

Dla ruchu pionowego przyjmij górę jako dodatnią i użyj a = −9,81 m/s² w całym locie. W najwyższym punkcie prędkość przez chwilę wynosi 0.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
t (s)v (m/s)20 s10

Pociąg zwalnia jednostajnie od 15 m/s do 10 m/s w ciągu 20 s. Jaką drogę przebywa w tym czasie? Wyznacz s.

v₀ = 15 m/sv = 10 m/st = 20 s

Oblicz s (m)

Pokaż podpowiedzi
  1. Przy stałym przyspieszeniu prędkość średnia to średnia z prędkości początkowej i końcowej.
  2. s = (v₀ + v)/2 · t. To pole pod wykresem v–t.
  3. prędkość średnia = 12,5 m/s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Prędkość średnia

(v₀ + v)/2 = (15 + 10)/2 = 12,5 m/s

Droga

s = 12,5·20 = 250 m

Odpowiedź

s = 250 m
Przykład 2Średni
a = ?s = 1000 m

Samolot potrzebuje do startu prędkości 250 km/h, a użyteczny pas startowy ma długość 1000 m. Jakie stałe przyspieszenie a jest potrzebne przy starcie z miejsca?

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1000 m

Oblicz a (m/s²)

Pokaż podpowiedzi
  1. Zamień prędkość na m/s: podziel km/h przez 3,6.
  2. v² = v₀² + 2·a·s przy v₀ = 0, więc a = v²/(2s).
  3. v = 69,44 m/s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Jednostki

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

Przyspieszenie

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·1000) = 2,411 m/s²

Odpowiedź

a = 2,411 m/s²
Przykład 3Trudny
a = 22 m/s²

Model rakiety startuje pionowo w górę ze spoczynku. Silnik nadaje mu stałe przyspieszenie w górę 22 m/s² przez 2 s, po czym gaśnie i rakieta porusza się swobodnie. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą wysokość hmax, jaką osiąga rakieta.

a = 22 m/s²t1 = 2 sg = 9,81 m/s²

Oblicz hmax (m)

Pokaż podpowiedzi
  1. Podziel lot: faza napędzana z przyspieszeniem a, potem lot swobodny z przyspieszeniem −g.
  2. W chwili wyłączenia silnika: v₁ = a·t₁ i h₁ = ½·a·t₁².
  3. v₁ = 44 m/s, h₁ = 44 m.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Faza napędzana

v₁ = 22·2 = 44 m/s
h₁ = ½·22·2² = 44 m

Lot swobodny w górę

W najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru.

Δh = v₁²/(2g) = 44²/(2·9,81) = 98,67 m
hmax = 44 + 98,67 = 142,7 m

Odpowiedź

hmax = 142,7 m

Pytania i odpowiedzi

Kinematyka: co to jest?

Kinematyka opisuje, jak ciała się poruszają: jak szybko, jak daleko i jak długo. Nie pyta, dlaczego się poruszają. To zadanie sił i zasad dynamiki Newtona.

W tym temacie przyspieszenie jest stałe. Tak poruszają się samochód, który równomiernie przyspiesza, pociąg, który równomiernie hamuje, i kamień spadający swobodnie.

Kinematyka: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Wypisz dane: v₀, v, a, t i s, z jednostkami.
  2. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i niewiadomą.
  3. Wybierz jeden kierunek dodatni i nadaj wielkościom przeciwnie skierowanym znak minus.
  4. Rozwiąż i sprawdź, czy odpowiedź ma sens fizyczny.
Kinematyka: jakie błędy są najczęstsze?
  • Zapominanie o zamianie km/h na m/s.
  • Pominięcie ½ w s = v₀·t + ½·a·t².
  • Użycie dodatniego przyspieszenia przy hamowaniu.
Kinematyka: co ćwiczysz?
  • Łatwy: przyspieszanie
  • Średni: hamowanie
  • Trudny: rzut pionowy

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Potem przejdź do

Zasady dynamiki NewtonaRzut ukośny

Kalkulatory

Kalkulator kinematyki (SUVAT)Kalkulator swobodnego spadku (czas, wysokość i prędkość uderzenia)Kalkulator przyspieszenia (i prędkości średniej)

Przedmioty z tym tematem

DynamikaFizyka dla inżynierówFizyka 1: MechanikaZadania do ćwiczeń z AP Physics 1

Więcej tematów: Fizyka

Zasady dynamiki NewtonaRuch po okręguPęd i zderzeniaSprężyny i wahadłaPrawo Coulomba i pola elektrycznePola magnetyczne i indukcjaFale, dźwięk i optyka

Karta pracy do druku

Kinematyka: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: KinematykaĆwicz teraz: Kinematyka5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.