Pęd i zderzenia: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Q: Pęd i zderzenia: co ćwiczysz?

Łatwy: doskonale niesprężyste Średni: sprężyste Trudny: popęd i siła Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Inaczej: zasada zachowania pędu · zderzenia sprężyste · zderzenia niesprężyste

Darmowe zadania z tematu Pęd i zderzenia z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: doskonale niesprężyste, sprężyste, popęd i siła.

Darmowe zadanieŁatwy

Karabin o masie 4,5 kg, który może się swobodnie poruszać, wystrzeliwuje pocisk o masie 12 g z prędkością 750 m/s. Oba są początkowo w spoczynku. Wyznacz prędkość odrzutu V karabinu.

M = 4,5 kgm = 12 gv = 750 m/s

Następne zadanie →

Ćwicz za darmo: Pęd i zderzenia Ćwicz teraz: Pęd i zderzenia5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

Łatwydoskonale niesprężyste
Średnisprężyste
Trudnypopęd i siła

Jak rozwiązywać zadania: Pęd i zderzenia

Wybierz kierunek dodatni i nadaj każdej prędkości znak.
Zapisz całkowity pęd przed zderzeniem: Σm·v.
W zderzeniu doskonale niesprężystym ciała poruszają się potem razem; w zderzeniu sprężystym zachowana jest także energia kinetyczna.
Przyrównaj pęd przed do pędu po i rozwiąż.

Typowe błędy

Zapominanie o znaku minus prędkości o przeciwnym kierunku.
Uśrednianie prędkości zamiast ważenia ich masami.
Zakładanie, że energia kinetyczna jest zachowana w zderzeniu niesprężystym.

Najważniejsze wzory

Pęd: p = m·v
Zasada zachowania: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Doskonale niesprężyste: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Popęd siły: J = F·Δt = m·Δv

Naucz się tematu Pęd i zderzenia od zera

Wcześniej: Zasady dynamiki Newtona

1Czym jest pęd

Ciężarówkę jadącą 10 km/h trudniej zatrzymać niż rower z tą samą prędkością. Pocisk jest malutki, ale bardzo trudny do zatrzymania, bo jest tak szybki. Pęd łączy jedno i drugie: masę i prędkość.

p = m · v

Pęd p jest w kg·m/s. Ma kierunek, taki sam jak prędkość. Wybierz kierunek dodatni: ciało poruszające się w drugą stronę ma prędkość ujemną i pęd ujemny.

Pęd jest ważny, bo jest zachowany w zderzeniach i wybuchach. Suma przed równa się sumie po, cokolwiek dzieje się podczas zderzenia.

Samosprawdzenie Jaki jest pęd kuli o masie 2 kg poruszającej się z prędkością 3 m/s?

1,5 kg·m/s
18 kg·m/s
6 kg·m/s
9 kg·m/s

Odpowiedź: 6 kg·m/s. p = m·v = 2 · 3 = 6 kg·m/s. 9 to ½·m·v², czyli energia kinetyczna w dżulach, a to inna wielkość.

2Zasada zachowania pędu

Gdy dwa ciała się zderzają, naciskają na siebie równymi i przeciwnymi siłami (trzecia zasada dynamiki Newtona) przez ten sam krótki czas. Co jedno zyskuje w pędzie, drugie traci.

Jeśli więc podczas zderzenia nie działa siła zewnętrzna, całkowity pęd pozostaje taki sam:

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

Prim (′) oznacza prędkość po zderzeniu. Tarcie od drogi jest małe podczas krótkiego zderzenia, więc możesz je pominąć.

Zderzenia są dwóch rodzajów:

Doskonale niesprężyste: ciała sklejają się i poruszają z jedną wspólną prędkością v′. Energia kinetyczna zamienia się w ciepło, dźwięk i wgniecenia.
Sprężyste: ciała odbijają się od siebie, a energia kinetyczna ½·m·v² też jest zachowana.

Dla zderzenia doskonale niesprężystego wspólna prędkość wynika wprost:

v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) / (m₁ + m₂)

Wybuch lub wystrzał z broni to ta sama idea w drugą stronę: całkowity pęd przed wynosi zero, więc po też wynosi zero.

Samosprawdzenie Wózek o masie 2 kg jadący z prędkością 6 m/s uderza w spoczywający wózek o masie 1 kg. Sklejają się. Jaka jest ich wspólna prędkość?

12 m/s
2 m/s
3 m/s
4 m/s

Odpowiedź: 4 m/s. v′ = (2 · 6 + 1 · 0)/(2 + 1) = 12/3 = 4 m/s. Uśrednienie prędkości (3 m/s) pomija to, że cięższy wózek niesie więcej pędu.

3Popęd siły

Siła działająca przez czas Δt zmienia pęd ciała. Iloczyn F·Δt nazywa się popędem J, w N·s (to samo co kg·m/s).

J = F · Δt = m · Δv = m · (v′ − v)

Ta sama zmiana pędu w dłuższym czasie wymaga mniejszej siły. Dlatego poduszki powietrzne i strefy zgniotu ratują życie.

Dla piłki, która odbija się z powrotem, prędkość zmienia znak. Przy dodatnim kierunku nadlatywania piłka uderzająca w ścianę z prędkością 10 m/s i wracająca z prędkością 5 m/s ma Δv = −5 − 10 = −15 m/s.

4Metoda krok po kroku

Wybierz kierunek dodatni i nadaj każdej prędkości znak.
Zapisz całkowity pęd przed: m₁·v₁ + m₂·v₂.
Ustal, co dzieje się po: jedna wspólna prędkość (sklejają się), dwie prędkości (odbijają się) albo kilka kawałków (wybuch).
Przyrównaj pęd przed do pędu po i rozwiąż względem niewiadomej.
Jeśli pytają o energię, porównaj ½·m·v² przed i po.
Sprawdź znak odpowiedzi: ujemna prędkość oznacza ruch w kierunku ujemnym.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Samochód o masie 1000 kg jadący z prędkością 20 m/s zderza się czołowo z samochodem o masie 1500 kg jadącym z prędkością 10 m/s w przeciwnym kierunku. Samochody się zaklinowują. Znajdź ich wspólną prędkość v′ tuż po zderzeniu, dodatnią w kierunku pierwszego samochodu.

Znaki

Przyjmij kierunek pierwszego samochodu jako dodatni. Wtedy v₁ = +20 m/s i v₂ = −10 m/s.

Pęd przed

1000 · 20 + 1500 · (−10) = 20000 − 15000 = 5000 kg·m/s

Pęd po

Samochody poruszają się jak jedno ciało o masie 2500 kg z prędkością v′.

p′ = 2500 · v′

Rozwiąż

2500 · v′ = 5000 ⇒ v′ = 2 m/s

Sprawdź wynik

v′ jest dodatnie, więc wrak porusza się w kierunku pierwszego samochodu. Pasuje to: pierwszy samochód miał większy pęd (20 000 wobec 15 000 kg·m/s). Energia kinetyczna spada z 275 000 J do 5000 J, jak należy się spodziewać, gdy samochody się sklejają.

Odpowiedź

v′ = +2 m/s, w kierunku, w którym poruszał się pierwszy samochód.

6Typowe błędy

Zapominanie o znaku minus prędkości o przeciwnym kierunku.
Uśrednianie prędkości zamiast ważenia ich masami.
Zakładanie, że energia kinetyczna jest zachowana, gdy ciała się sklejają. Zachowany jest tylko pęd.
Przy odbiciu używanie różnicy prędkości zamiast zmiany prędkości: piłka zmienia kierunek, więc prędkości się dodają.
Mieszanie gramów i kilogramów dla pocisku: 12 g to 0,012 kg.

Samosprawdzenie Piłka o masie 0,2 kg uderza w ścianę z prędkością 10 m/s i odbija się prosto z powrotem z prędkością 5 m/s. Kontakt trwa 0,01 s. Jak duża jest średnia siła ściany?

100 N
200 N
3 N
300 N

Odpowiedź: 300 N. Δv = −5 − 10 = −15 m/s, więc F = m·|Δv|/Δt = 0,2 · 15/0,01 = 300 N. Użycie 10 − 5 = 5 m/s (100 N) pomija to, że piłka zmienia kierunek. 3 N to popęd w N·s, niepodzielony przez czas.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

Łatwe: zderzenia doskonale niesprężyste: dwa samochody, które się zaklinowują, wózek uderzający w inny albo odrzut karabinu.
Średnie: zderzenia sprężyste szybowców na torze, energia kinetyczna tracona przy sklejaniu się ciał, wybuchy i pocisk wystrzelony w wiszący klocek.
Trudne: popęd i siła: piłka odbijająca się od ściany, samochody zderzające się na skrzyżowaniu (pęd w dwóch kierunkach) albo wrak, który zatrzymuje się w poślizgu.

Dla zderzenia sprężystego, gdy drugie ciało spoczywa: v′₁ = (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂) · v₁ i v′₂ = 2m₁/(m₁ + m₂) · v₁.

Ucz się krok po kroku w aplikacji Ucz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy

Wózek o masie 0,5 kg jadący z prędkością 7,5 m/s uderza w nieruchomy wózek o masie 5 kg. Po zderzeniu pierwszy wózek jedzie dalej w tym samym kierunku z prędkością 0,5 m/s. Wyznacz prędkość v′₂ drugiego wózka.

m₁ = 0,5 kgv₁ = 7,5 m/sm₂ = 5 kgv′₁ = 0,5 m/s

Oblicz v′₂ (m/s)

Pokaż podpowiedzi

Pęd całkowity przed = pęd całkowity po.
m₁·v₁ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂.
przekazany pęd = 3,5 kg·m/s.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Bilans pędu

0,5·7,5 = 0,5·0,5 + 5·v′₂

v′₂ = 3,5/5 = 0,7 m/s

Odpowiedź

v′₂ = 0,7 m/s

Przykład 2Średni

Samochód o masie 1400 kg jadący z prędkością 10 m/s uderza w stojący samochód o masie 1500 kg i oba się sczepiają. Ile energii kinetycznej ΔK traci się w zderzeniu?

m₁ = 1400 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

Oblicz ΔK (J)

Pokaż podpowiedzi

Najpierw wyznacz wspólną prędkość z zasady zachowania pędu.
Następnie porównaj ½·m·v² przed i po.
v′ = 4,828 m/s.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wspólna prędkość

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·10/2900 = 4,828 m/s

Energia kinetyczna przed i po

K_before = ½·1400·10² = 70000 J

K_after = ½·2900·4,828² = 33793 J

Utracona energia

ΔK = 70000 − 33793 = 36207 J

Odpowiedź

ΔK = 36207 J

Utracona energia zamienia się w odkształcenie, ciepło i dźwięk.

Przykład 3Trudny

Pocisk o masie 20 g zostaje wystrzelony poziomo w klocek o masie 5 kg zawieszony na lekkich niciach o długości 0,7 m i pozostaje w nim. Nici wychylają się maksymalnie o kąt 25° od pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość v pocisku przed uderzeniem.

m = 20 gM = 5 kgL = 0,7 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

Oblicz v (m/s)

Pokaż podpowiedzi

Wzniesienie: h = L·(1 − cos θ).
Wychylenie: V = √(2gh). Uderzenie: m·v = (m + M)·V.
h = 0,06558 m, V = 1,134 m/s.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wzniesienie klocka

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 25°) = 0,06558 m

Prędkość po uderzeniu

V = √(2·9,81·0,06558) = 1,134 m/s

Zderzenie

v = (m + M)·V/m = 5,02·1,134/0,02 = 284,7 m/s

Odpowiedź

v = 284,7 m/s

Pytania i odpowiedzi

Pęd i zderzenia: co to jest?

Pęd p jest w kg·m/s. Ma kierunek, taki sam jak prędkość. Wybierz kierunek dodatni: ciało poruszające się w drugą stronę ma prędkość ujemną i pęd ujemny.

Pęd i zderzenia: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Wybierz kierunek dodatni i nadaj każdej prędkości znak.
Zapisz całkowity pęd przed zderzeniem: Σm·v.
W zderzeniu doskonale niesprężystym ciała poruszają się potem razem; w zderzeniu sprężystym zachowana jest także energia kinetyczna.
Przyrównaj pęd przed do pędu po i rozwiąż.

Pęd i zderzenia: jakie błędy są najczęstsze?

Zapominanie o znaku minus prędkości o przeciwnym kierunku.
Uśrednianie prędkości zamiast ważenia ich masami.
Zakładanie, że energia kinetyczna jest zachowana w zderzeniu niesprężystym.

Pęd i zderzenia: co ćwiczysz?

Łatwy: doskonale niesprężyste
Średni: sprężyste
Trudny: popęd i siła

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Zasady dynamiki Newtona

Kalkulatory

Kalkulator zderzeń i pędu

Przedmioty z tym tematem

Dynamika Fizyka dla inżynierów Fizyka 1: Mechanika Zadania do ćwiczeń z AP Physics 1

Więcej tematów: Fizyka

Kinematyka Zasady dynamiki Newtona Ruch po okręgu Sprężyny i wahadła Prawo Coulomba i pola elektryczne Pola magnetyczne i indukcja Fale, dźwięk i optyka

Karta pracy do druku

Pęd i zderzenia: karta pracy z odpowiedziami

Ćwicz za darmo: Pęd i zderzenia Ćwicz teraz: Pęd i zderzenia5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.