Pola magnetyczne i indukcja: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Darmowe zadania z tematu Pola magnetyczne i indukcja z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: pola prądów i siły magnetyczne, cząstki naładowane, Faraday i Lenz, generatory, indukcyjność i wiązki cząstek.
Darmowe zadanieŁatwy
Płaska kołowa cewka o 100 zwojach i promieniu 2 cm przewodzi prąd 0,5 A. Znajdź indukcję magnetyczną B w jej środku.
Każdy prąd elektryczny jest otoczony polem magnetycznym B, mierzonym w teslach (T). Pole Ziemi wynosi około 50 µT; magnes na lodówkę kilka mT.
Wokół długiego prostego przewodu linie pola są okręgami. Skieruj kciuk prawej dłoni wzdłuż prądu: palce zwijają się w kierunku B (reguła prawej dłoni). Na rysunkach ⊗ oznacza pole w głąb kartki, a ⊙ – ku czytelnikowi.
przewód: B = μ₀I/(2πr) środek pętli: B = μ₀NI/(2R) solenoid: B = μ₀(N/L)·I
μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Zawsze używaj metrów: 5 cm to 0,05 m. Wewnątrz długiego solenoidu pole jest jednorodne i nie zależy od promienia.
Samosprawdzenie Odległość od długiego prostego przewodu podwaja się. Co dzieje się z B?
Maleje o połowę
Podwaja się
Pozostaje taki sam
Spada do jednej czwartej
Odpowiedź: Maleje o połowę. B = μ₀I/(2πr) maleje jak 1/r, więc dwukrotna odległość daje połowę pola. Prawo 1/r² dotyczy ładunków punktowych, nie przewodów.
2Siły magnetyczne
Pole działa siłą na poruszające się ładunki. Dla prostego przewodu o długości L z prądem I oraz dla pojedynczego ładunku q poruszającego się z prędkością v:
F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ
θ to kąt między prądem (lub prędkością) a polem: przewód równoległy do B nie podlega żadnej sile. Siła jest prostopadła do obu. Palce prawej dłoni skieruj wzdłuż v, zegnij je w stronę B: kciuk wskazuje F dla ładunku dodatniego. Dla elektronu odwróć zwrot.
Ponieważ siła jest zawsze prostopadła do prędkości, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu. Z |q|vB = mv²/r wynika r = mv/(|q|B). Czas jednego obiegu, T = 2πm/(|q|B), nie zależy od prędkości.
Dwa równoległe przewody przyciągają się, gdy prądy płyną w tę samą stronę, i odpychają, gdy płyną w przeciwne strony, z F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Samosprawdzenie Proton i elektron poruszają się z tą samą prędkością w poprzek tego samego pola. Który porusza się po większym okręgu?
Elektron
Oba okręgi mają ten sam rozmiar
Proton
Żaden: poruszają się po liniach prostych
Odpowiedź: Proton. r = mv/(|q|B). Oba mają ładunek o tej samej wartości, ale proton jest około 1836 razy cięższy, więc jego okrąg jest 1836 razy większy. Zakrzywiają się też w przeciwne strony.
3Strumień i prawo Faradaya
Strumień magnetyczny przez pętlę mówi, ile pola przez nią przechodzi: Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Jednostka: weber (Wb = T·m²).
Gdy strumień przez cewkę się zmienia, indukuje się SEM (prawo Faradaya). Prąd indukowany płynie tak, że jego własne pole przeciwdziała zmianie (reguła Lenza):
ε = −N·ΔΦ/Δt
Strumień może się zmieniać, bo zmienia się B, bo zmienia się pole powierzchni albo bo cewka się obraca. Obrócenie cewki w polu na drugą stronę odwraca strumień, więc ΔΦ = 2BA.
Pręt o długości L poruszający się z prędkością v w poprzek pola zakreśla pole powierzchni, więc ε = BLv. Przy oporniku R prąd wynosi I = ε/R, a pole działa na ten prąd siłą F = BIL: trzeba stale ciągnąć, by pręt się poruszał.
Samosprawdzenie Pole skierowane w głąb kartki przez pętlę rośnie. W którą stronę płynie prąd indukowany, patrząc od przodu?
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
Prąd nie płynie
Zależy od rozmiaru pętli
Zgodnie z ruchem wskazówek zegara
Odpowiedź: Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Prąd indukowany przeciwdziała wzrostowi strumienia w głąb kartki, więc jego własne pole wewnątrz pętli jest skierowane ku czytelnikowi. Według reguły prawej dłoni wymaga to prądu płynącego przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
4Generatory i indukcyjność
Cewka o N zwojach i powierzchni A, obracająca się z prędkością kątową ω w polu B, daje sinusoidalną SEM o wartości szczytowej E₀ = NBAω. Wartość skuteczna to E₀/√2, a ω = 2π·n/60 dla n w obr/min.
Zmieniający się prąd w cewce zmienia jej własny strumień, co indukuje SEM przeciwdziałającą zmianie: to samoindukcja L, w henrach (H).
ε = L·ΔI/Δt długi solenoid: L = μ₀N²A/l energia: W = ½LI²
Dwie cewki o wspólnym strumieniu mają indukcyjność wzajemną M: zmieniający się prąd w jednej indukuje w drugiej ε₂ = M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂) i 0 ≤ k ≤ 1. Wykorzystują to transformatory.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Metalowy pręt o długości 40 cm przesuwa się z prędkością 5 m/s po szynach w polu 0,5 T. Szyny połączone są opornikiem 2 Ω. Znajdź prąd i siłę potrzebną do utrzymania stałej prędkości pręta.
1
Indukowana SEM
ε = BLv = 0,5 · 0,40 · 5 = 1,0 V
2
Prąd
I = ε/R = 1,0/2 = 0,5 A
3
Siła hamująca
Prąd w pręcie płynie w polu, więc pręt podlega sile F = BIL, skierowanej przeciwnie do jego ruchu (Lenz).
F = 0,5 · 0,5 · 0,40 = 0,10 N
4
Sprawdź energię
Moc ciągnięcia F·v = 0,10 · 5 = 0,5 W jest równa cieple w oporniku, I²R = 0,25 · 2 = 0,5 W. Energia jest zachowana.
Odpowiedź
I = 0,5 A i F = 0,10 N.
6Typowe błędy
Zostawienie odległości w cm lub pól powierzchni w cm². 1 cm² = 10⁻⁴ m².
Mylenie wzorów: μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka pętli, μ₀nI dla solenoidu.
Użycie kąta względem płaszczyzny w Φ = BA·cos θ zamiast kąta względem normalnej.
Użycie pola końcowego zamiast zmiany pola w prawie Faradaya.
Zapomnienie o odwróceniu zwrotu siły dla ładunku ujemnego.
Mieszanie wartości szczytowych i skutecznych dla generatora.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: B przewodu, pętli lub solenoidu, siła na przewód lub poruszający się ładunek oraz strumień przez pętlę.
Średnie: promień i okres ładunku w polu, prawo Faradaya dla cewki, pręt na szynach, równoległe przewody oraz kierunek siły lub prądu indukowanego.
Trudne: generatory, samoindukcja i energia zgromadzona, indukcyjność wzajemna, spektrometry mas i selektory prędkości.
Przy kierunkach naszkicuj symbole pola i za każdym razem używaj prawej dłoni; przy wartościach najpierw zapisz wzór i zamień każdą wielkość na jednostki SI.
Długim prostym przewodem płynie prąd 8 A. W jakiej odległości r od przewodu indukcja magnetyczna wynosi 32 µT?
I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Oblicz r(cm)
Pokaż podpowiedzi
Przekształć B = μ₀I/(2πr) względem r.
r = μ₀I/(2πB).
Zamień wynik z metrów na centymetry.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Pole magnetyczne prądów: wokół długiego prostego przewodu linie pola są okręgami (reguła prawej dłoni), a B = μ₀I/(2πr). W środku płaskiej kołowej cewki o N zwojach B = μ₀NI/(2R). Wewnątrz długiego solenoidu pole jest jednorodne, B = μ₀nI, gdzie n = N/L to liczba zwojów na metr, niezależnie od promienia. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Pracuj w jednostkach SI (metry i ampery), a pola kilku źródeł dodawaj jako wektory.
Odległość z pola
r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0,05 m = 5 cm
Odpowiedź
r = 5 cm
Przykład 2Średni
Cewka o 50 zwojach ma pole powierzchni 80 cm². Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,2 T do 1 T w czasie 100 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.
N = 50A = 80 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 100 ms
Oblicz ε(V)
Pokaż podpowiedzi
Prawo Faradaya: ε = N·ΔΦ/Δt.
ΔΦ = ΔB·A.
A = 0,008 m² i Δt = 0,1 s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).
Zmiana strumienia na zwój
ΔΦ = (1 − 0,2)·0,008 = 0,0064 Wb
Średnia SEM
ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0064/0,1 = 3,2 V
Odpowiedź
ε = 3,2 V
Przykład 3Trudny
Dwie cewki o indukcyjnościach własnych 50 mH i 50 mH mają współczynnik sprzężenia 0,3. Prąd w pierwszej cewce zmienia się z szybkością 1000 A/s. Znajdź SEM ε indukowaną w drugiej cewce.
L1 = 50 mHL2 = 50 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s
Oblicz ε(V)
Pokaż podpowiedzi
M = k√(L₁L₂).
ε₂ = M·di₁/dt.
Zamień M na henry.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).
Indukcyjność wzajemna
M = 0,3·√(50·50) = 15 mH
Indukowana SEM
ε = M·di/dt = 0,015·1000 = 15 V
Odpowiedź
ε = 15 V
Pytania i odpowiedzi
Pola magnetyczne i indukcja: co to jest?
Każdy prąd elektryczny jest otoczony polem magnetycznym B, mierzonym w teslach (T). Pole Ziemi wynosi około 50 µT; magnes na lodówkę kilka mT.
Wokół długiego prostego przewodu linie pola są okręgami. Skieruj kciuk prawej dłoni wzdłuż prądu: palce zwijają się w kierunku B (reguła prawej dłoni). Na rysunkach ⊗ oznacza pole w głąb kartki, a ⊙ – ku czytelnikowi.
Pola magnetyczne i indukcja: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.
Pola magnetyczne i indukcja: jakie błędy są najczęstsze?
Pozostawianie długości w cm lub pól w cm².
Użycie wzoru na przewód dla pętli lub solenoidu.
Użycie kąta względem płaszczyzny w Φ = BA·cos θ, które wymaga kąta względem normalnej.
Zapomnienie o odwróceniu zwrotu siły dla ładunku ujemnego.
Mieszanie wartości szczytowych i skutecznych generatora.
Pola magnetyczne i indukcja: co ćwiczysz?
Łatwy: pola prądów i siły magnetyczne
Średni: cząstki naładowane, Faraday i Lenz
Trudny: generatory, indukcyjność i wiązki cząstek
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.