Rzut ukośny: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: rzut poziomy · ruch paraboliczny · zasięg rzutu
Darmowe zadania z tematu Rzut ukośny z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: rzut poziomy, rzut z ziemi, rzut z wysokości.
Darmowe zadanieŁatwy
Kamień rzucono poziomo ze szczytu muru o wysokości 20 m i upadł 22 m od podstawy muru. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość początkową v0.
Pocisk (ciało rzucone) to przedmiot lecący w powietrzu, na który działa tylko grawitacja. Kopnięta piłka, kamień rzucony z mostu i woda z węża ogrodowego to wszystko ciała rzucone.
W tym temacie pomijasz opór powietrza. Wtedy tor jest zawsze gładką krzywą zwaną parabolą.
Kluczowa idea: ruch rozdziela się na dwie osobne części. W bok nic nie popycha ani nie spowalnia ciała. W górę i w dół grawitacja ciągnie je z g = 9,81 m/s².
Prędkość pozioma pozostaje więc taka sama przez cały czas, a prędkość pionowa zmienia się co sekundę. Obie części łączy tylko jedno: czas.
Samosprawdzenie Piłka leci w powietrzu bez oporu powietrza. Która wielkość pozostaje stała podczas lotu?
Prędkość całkowita
Prędkość pionowa
Prędkość pozioma
Wysokość
Odpowiedź: Prędkość pozioma. W bok nie działa żadna siła, więc prędkość pozioma się nie zmienia. Grawitacja zmienia prędkość pionową, a wraz z nią prędkość całkowitą i wysokość.
2Dwa ruchy, jeden zegar
Umieść początek układu w punkcie wyrzutu, z x poziomo i y pionowo (góra jest dodatnia). Po czasie t:
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
Tu h to wysokość wyrzutu nad ziemią, vx to prędkość pozioma, a vy to początkowa prędkość pionowa.
Piłka uderza w ziemię, gdy y = 0. Rozwiązujesz równanie pionowe względem tego czasu, a potem wstawiasz ten sam czas do równania poziomego.
Dla rzutu poziomegovy = 0. Równanie pionowe przechodzi w h = ½ · g · t², więc czas spadania wynosi:
t = √(2h / g)
Ten czas spadania w ogóle nie zależy od prędkości poziomej.
Samosprawdzenie Z tego samego stołu kulka A stacza się z krawędzi z prędkością 1 m/s, a kulka B z prędkością 3 m/s. Która spadnie pierwsza?
Kulka A
Kulka B
Spadną w tym samym czasie
To zależy od ich mas
Odpowiedź: Spadną w tym samym czasie. Obie zaczynają z zerową prędkością pionową i spadają z tej samej wysokości, więc t = √(2h/g) jest takie samo. Kulka B tylko spada dalej.
3Rzut pod kątem
Gdy piłka jest wyrzucona z prędkością v0 pod kątem θ nad poziomem, najpierw rozłóż prędkość na jej dwie części, czyli składowe:
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
Z poziomego terenu piłka wznosi się, aż jej prędkość pionowa wyniesie zero, a potem opada. Wznoszenie i opadanie trwają tyle samo. Daje to trzy użyteczne wyniki:
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
Wzór na zasięg R jest ważny tylko wtedy, gdy piłka ląduje na tej samej wysokości, z której została wyrzucona.
Samosprawdzenie Piłka jest wyrzucona z prędkością 20 m/s pod kątem 30° nad poziomem. Jakie są jej składowe prędkości?
vx = 10 m/s i vy = 10 m/s
vx = 10 m/s i vy = 17,3 m/s
vx = 17,3 m/s i vy = 10 m/s
vx = 20 m/s i vy = 20 m/s
Odpowiedź: vx = 17,3 m/s i vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17,3 m/s i vy = 20 · sin 30° = 10 m/s. Zamiana miejscami używa sin dla części poziomej, co jest klasyczną pomyłką.
4Metoda krok po kroku
Narysuj tor. Zaznacz wysokość wyrzutu h, prędkość wyrzutu v0, kąt θ i to, co masz znaleźć.
Rozłóż prędkość początkową na składowe: vx = v0 · cos θ i vy = v0 · sin θ. Rzut poziomy ma vy = 0.
Użyj ruchu pionowego, aby znaleźć czas lotu: przyjmij y = 0 w y = h + vy·t − ½·g·t² i rozwiąż względem t.
Użyj tego czasu w ruchu poziomym: x = vx · t.
Dla prędkości w dowolnej chwili połącz składowe: v = √(vx² + (vy − g·t)²).
Sprawdź, czy kalkulator jest ustawiony na stopnie, zanim policzysz sin lub cos kąta podanego w stopniach.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Piłka jest rzucona poziomo z prędkością 12 m/s ze szczytu klifu o wysokości 45 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Jak daleko od podstawy klifu spadnie?
1
Narysuj sytuację
Rzut jest poziomy, więc vx = 12 m/s i vy = 0. Piłka musi spaść z h = 45 m.
2
Znajdź czas lotu
Ruch pionowy to spadek ze spoczynku na 45 m:
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9,81) = √9,174 = 3,03 s
3
Użyj czasu w ruchu w bok
Przez te 3,03 s piłka porusza się w bok z prędkością 12 m/s:
x = vx · t = 12 · 3,029 = 36,3 m
4
Sprawdź wynik
Wstaw czas z powrotem do ruchu pionowego: ½ · 9,81 · 3,029² = 45,0 m. To dokładnie wysokość klifu, więc czas jest dobry.
Odległość około 36 m dla rzutu z prędkością 12 m/s trwającego 3 s też ma sensowną wielkość.
5
Dalej: prędkość uderzenia
Tuż przed lądowaniem vy = g · t = 9,81 · 3,029 = 29,7 m/s w dół, podczas gdy vx nadal wynosi 12 m/s.
v = √(12² + 29,7²) = 32,0 m/s
Odpowiedź
Piłka ląduje x ≈ 36,3 m od podstawy klifu, po 3,03 s.
6Typowe błędy
Użycie pełnej prędkości v0 tam, gdzie należy składowa. Czas lotu wynika tylko z vy, zasięg tylko z vx.
Mylenie sin i cos. Składowa pozioma idzie z cos θ, gdy θ mierzy się od poziomu.
Kalkulator w radianach, gdy kąt jest w stopniach.
Użycie R = v0² · sin 2θ / g, gdy piłka ląduje niżej lub wyżej, niż wystartowała. Wtedy musisz zamiast tego rozwiązać równanie pionowe.
Nadawanie ruchowi poziomemu przyspieszenia. W bok prędkość jest stała.
Samosprawdzenie Piłka jest kopnięta z poziomego terenu z prędkością 20 m/s pod kątem 30° nad poziomem. Jak długo jest w powietrzu? (g = 9,81 m/s²)
1,02 s
2,04 s
3,53 s
4,08 s
Odpowiedź: 2,04 s. vy = 20 · sin 30° = 10 m/s, więc t = 2 · 10 / 9,81 = 2,04 s. Użycie pełnych 20 m/s daje 4,08 s, a 1,02 s to tylko czas do najwyższego punktu.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: rzut poziomy z klifu lub ściany. Znajdź czas lotu, odległość lądowania, prędkość wyrzutu z danej odległości lądowania albo prędkość uderzenia. Niektóre łatwe pytania dotyczą czasu do najwyższego punktu rzutu z ziemi.
Średnie: rzut z poziomego terenu pod kątem. Znajdź czas lotu, maksymalną wysokość lub zasięg. Warianty pytają o prędkość lub kąt wyrzutu dający określony zasięg albo o wysokość, na której piłka mija mur.
Trudne: rzut pod kątem ze szczytu klifu albo lądowanie na dachu. Przyjęcie y = 0 (lub wysokości dachu) daje równanie kwadratowe względem t: weź pierwiastek dodatni.
W trudnym przypadku kąt lądowania poniżej poziomu wynika z końcowych składowych: tan α = |vy − g·t| / vx.
Piłka zostaje wyrzucona poziomo ze szczytu klifu o wysokości 55 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz odległość poziomą x pokonaną, zanim piłka uderzy w ziemię.
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Oblicz x(m)
Pokaż podpowiedzi
Rozpatrz ruch poziomy i pionowy osobno. Łączy je tylko czas t.
Piłka ląduje, gdy jej wysokość y(t) osiąga 0. Zapisz y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 0 m/s, a lot trwa 3,349 s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Rozłóż prędkość początkową
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 60° do poziomu z płaskiego terenu. Pomiń opór powietrza. Wyznacz czas lotu t, zanim piłka uderzy w ziemię.
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²
Oblicz t(s)
Pokaż podpowiedzi
Rozpatrz ruch poziomy i pionowy osobno. Łączy je tylko czas t.
Z symetrii czas wznoszenia jest równy czasowi opadania.
vy = 22,52 m/s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Rozłóż prędkość początkową
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s
Czas lotu
Start i lądowanie na tej samej wysokości: t = 2vy/g.
t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s
Odpowiedź
t = 4,591 s
Przykład 3Trudny
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 25° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 55 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz czas lotu t, zanim piłka uderzy w ziemię.
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Oblicz t(s)
Pokaż podpowiedzi
Rozpatrz ruch poziomy i pionowy osobno. Łączy je tylko czas t.
Piłka ląduje, gdy jej wysokość y(t) osiąga 0. Zapisz y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 13,95 m/s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Rozłóż prędkość początkową
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1079))/9,81 = 5,06 s
Odpowiedź
t = 5,06 s
Pytania i odpowiedzi
Rzut ukośny: co to jest?
W tym temacie pomijasz opór powietrza. Wtedy tor jest zawsze gładką krzywą zwaną parabolą.
Kluczowa idea: ruch rozdziela się na dwie osobne części. W bok nic nie popycha ani nie spowalnia ciała. W górę i w dół grawitacja ciągnie je z g = 9,81 m/s².
Rzut ukośny: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Rozłóż prędkość początkową na składowe: vx = v₀·cos θ i vy = v₀·sin θ.
Ruch poziomy ma stałą prędkość; ruch pionowy ma przyspieszenie −g.
Wyznacz czas lotu z ruchu pionowego.
Użyj tego czasu w ruchu poziomym, aby wyznaczyć zasięg.
Rzut ukośny: jakie błędy są najczęstsze?
Użycie v₀ zamiast składowej.
Kalkulator w radianach, gdy kąt jest w stopniach.
Użycie wzoru na zasięg v₀²·sin 2θ/g, gdy wysokości wyrzutu i lądowania się różnią.
Rzut ukośny: co ćwiczysz?
Łatwy: rzut poziomy
Średni: rzut z ziemi
Trudny: rzut z wysokości
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.